Matematiska problem används inom många vetenskaper. Dessa inkluderar inte bara fysik, kemi, teknik och ekonomi, utan även medicin, ekologi och andra discipliner. Ett viktigt begrepp att bemästra för att hitta lösningar på viktiga dilemman är derivatan av en funktion. Den fysiska innebörden av det är inte alls så svår att förklara som det kan tyckas för den oinvigde i frågans väsen. Det räcker med att hitta lämpliga exempel på detta i verkligheten och i vanliga vardagliga situationer. Faktum är att alla bilister klarar av en liknande uppgift varje dag när han tittar på hastighetsmätaren och bestämmer hastigheten på sin bil vid ett visst ögonblick av en fast tid. Det är trots allt i denna parameter som essensen av den fysiska betydelsen av derivatan ligger.
Hur man hittar hastighet
Bestämma hastigheten för en person på vägen, med kunskap om tillryggalagd sträcka och restid, vilket varje femteklassare lätt kan. För att göra detta är det första av de givna värdena dividerat med det andra. Meninte varje ung matematiker vet att han för närvarande hittar förhållandet mellan inkrement av en funktion och ett argument. Faktum är att om vi föreställer oss rörelsen i form av en graf, som plottar banan längs y-axeln och tiden längs abskissan, kommer det att bli exakt så här.
Men hastigheten för en fotgängare eller något annat föremål som vi bestämmer på en stor del av banan, med tanke på att rörelsen är enhetlig, kan mycket väl ändras. Det finns många former av rörelse i fysiken. Det kan utföras inte bara med en konstant acceleration, utan sakta ner och öka på ett godtyckligt sätt. Det bör noteras att i detta fall kommer linjen som beskriver rörelsen inte längre att vara en rak linje. Grafiskt kan den anta de mest komplexa konfigurationerna. Men för någon av punkterna på grafen kan vi alltid rita en tangent som representeras av en linjär funktion.
För att förtydliga parametern för förskjutningsändring beroende på tid, är det nödvändigt att förkorta de uppmätta segmenten. När de blir oändligt små blir den beräknade hastigheten momentan. Denna erfarenhet hjälper oss att definiera derivatan. Dess fysiska innebörd följer också logiskt av sådana resonemang.
När det gäller geometri
Det är känt att ju större kroppens hastighet är, desto brantare blir grafen för förskjutningens beroende av tid, och därmed lutningsvinkeln för tangenten till grafen vid en viss punkt. En indikator på sådana förändringar kan vara tangenten för vinkeln mellan x-axeln och tangentlinjen. Det bestämmer bara värdet på derivatan och beräknas av förhållandet mellan längdermittemot det intilliggande benet i en rätvinklig triangel som bildas av en vinkelrät som faller från någon punkt till x-axeln.
Detta är den geometriska betydelsen av den första derivatan. Den fysiska avslöjas i det faktum att värdet av det motsatta benet i vårt fall är den tillryggalagda sträckan, och den intilliggande är tiden. Deras förhållande är hastighet. Och återigen kommer vi till slutsatsen att den momentana hastigheten, bestämd när båda luckorna tenderar att bli oändligt små, är kärnan i begreppet derivatan, vilket indikerar dess fysiska betydelse. Den andra derivatan i det här exemplet kommer att vara kroppens acceleration, vilket i sin tur visar hastighetsändringen.
Exempel på att hitta derivator i fysik
Derivatan är en indikator på förändringshastigheten för en funktion, även när vi inte talar om rörelse i ordets bokstavliga bemärkelse. För att tydligt visa detta, låt oss ta några konkreta exempel. Antag att strömstyrkan, beroende på tid, ändras enligt följande lag: I=0, 4t2. Det är nödvändigt att hitta värdet på den hastighet med vilken denna parameter ändras i slutet av den 8:e sekunden av processen. Observera att det önskade värdet i sig, som kan bedömas från ekvationen, ökar hela tiden.
För att lösa det måste du hitta den första derivatan, vars fysiska betydelse övervägdes tidigare. Här dI/dt=0,8t. Därefter hittar vi det vid t \u003d 8, vi får att hastigheten med vilken den nuvarande styrkan ändras är 6,4 A / c. Här anses detström mäts i ampere respektive tid i sekunder.
Allt förändras
Den synliga omgivningsvärlden, som består av materia, genomgår ständigt förändringar och är i rörelse av olika processer som sker i den. En mängd olika parametrar kan användas för att beskriva dem. Om de förenas av beroende, så är de matematiskt skrivna som en funktion som tydligt visar deras förändringar. Och där det finns rörelse (i vilken form den än uttrycks), finns det också en derivata, vars fysiska betydelse vi överväger för tillfället.
Vid detta tillfälle, följande exempel. Antag att kroppstemperaturen ändras enligt lagen T=0, 2 t 2. Du bör hitta hastigheten för dess uppvärmning i slutet av den 10:e sekunden. Problemet löses på ett sätt som liknar det som beskrevs i föregående fall. Det vill säga, vi hittar derivatan och ersätter värdet för t \u003d 10 i den, vi får T \u003d 0, 4 t \u003d 4. Det betyder att det slutliga svaret är 4 grader per sekund, det vill säga uppvärmningsprocessen och temperaturförändringen, mätt i grader, sker exakt med en sådan hastighet.
Lösa praktiska problem
Naturligtvis, i verkliga livet är allt mycket mer komplicerat än i teoretiska problem. I praktiken bestäms värdet av kvantiteter vanligtvis under experimentet. I detta fall används instrument som ger avläsningar vid mätningar med ett visst fel. Därför måste man i beräkningar ta itu med ungefärliga värden på parametrarna och tillgripa avrundning av obekväma tal,samt andra förenklingar. Efter att ha tagit hänsyn till detta kommer vi återigen att gå vidare till problem med den fysiska betydelsen av derivatan, givet att de bara är ett slags matematisk modell av de mest komplexa processer som förekommer i naturen.
Vulkanutbrott
Låt oss föreställa oss att en vulkan får utbrott. Hur farlig kan han vara? För att svara på denna fråga måste många faktorer beaktas. Vi kommer att försöka ta emot en av dem.
Från mynningen av det "brinnande monster" kastas stenar vertik alt uppåt, med en initial hastighet från det ögonblick de går ut till utsidan på 120 m/s. Det är nödvändigt att beräkna vad de kan nå den maximala höjden.
För att hitta det önskade värdet kommer vi att komponera en ekvation för beroendet av höjden H, mätt i meter, av andra värden. Dessa inkluderar initial hastighet och tid. Accelerationsvärdet anses vara känt och ungefär lika med 10 m/s2.
Partiell derivata
Låt oss nu betrakta den fysiska betydelsen av derivatan av en funktion från en något annan vinkel, eftersom ekvationen i sig kan innehålla inte en utan flera variabler. Till exempel, i det föregående problemet, bestämdes beroendet av höjden på stenarna som kastades ut från vulkanens ventil inte bara av förändringen i tidsegenskaper utan också av värdet på den initiala hastigheten. Det senare ansågs vara ett konstant, fast värde. Men i andra uppgifter med helt andra förutsättningar kan allt vara annorlunda. Om de kvantiteter som komplexetfunktion, flera, beräkningar görs enligt formlerna nedan.
Den fysiska betydelsen av den frekventa derivatan bör bestämmas som i det vanliga fallet. Detta är den hastighet med vilken funktionen ändras vid en viss punkt när parametern för variabeln ökar. Den beräknas på ett sådant sätt att alla andra komponenter tas som konstanter, endast en betraktas som en variabel. Sedan sker allt enligt de vanliga reglerna.
Oumbärlig rådgivare i många frågor
För att förstå den fysiska innebörden av derivatan är det inte svårt att ge exempel på att lösa intrikata och komplexa problem, där svaret kan hittas med sådan kunskap. Om vi har en funktion som beskriver bränsleförbrukningen beroende på bilens hastighet, kan vi beräkna vid vilka parametrar av den senare bensinförbrukningen blir minst.
Inom medicin kan du förutsäga hur människokroppen kommer att reagera på ett läkemedel som ordinerats av en läkare. Att ta läkemedlet påverkar en mängd olika fysiologiska parametrar. Dessa inkluderar förändringar i blodtryck, hjärtfrekvens, kroppstemperatur och mer. Alla beror på dosen av läkemedlet som tas. Dessa beräkningar hjälper till att förutsäga behandlingsförloppet, både i gynnsamma manifestationer och vid oönskade olyckor som dödligt kan påverka förändringar i patientens kropp.
Utan tvekan är det viktigt att förstå den fysiska innebörden av derivatan i tekniskfrågor, särskilt inom elektroteknik, elektronik, design och konstruktion.
Bromssträcka
Låt oss överväga nästa problem. Med konstant hastighet fick bilen, när den närmade sig bron, sakta ner 10 sekunder före infarten, eftersom föraren lade märke till en vägskylt som förbjöd rörelse i en hastighet över 36 km/h. Bröt föraren mot reglerna om bromssträckan kan beskrivas med formeln S=26t - t2?
När vi beräknar den första derivatan, hittar vi formeln för hastigheten, vi får v=28 – 2t. Ersätt sedan värdet t=10 i det angivna uttrycket.
Eftersom detta värde uttrycktes i sekunder är hastigheten 8 m/s, vilket betyder 28,8 km/h. Detta gör det möjligt att förstå att föraren började sakta ner i tid och inte bröt mot trafikreglerna, och därav gränsen som anges på hastighetsskylten.
Detta bevisar vikten av den fysiska betydelsen av derivatan. Ett exempel på att lösa detta problem visar vidden av användningen av detta koncept inom olika områden av livet. Inklusive i vardagliga situationer.
Derivat i ekonomi
Fram till 1800-talet arbetade ekonomer mestadels på genomsnitt, oavsett om det var arbetsproduktivitet eller priset på produktionen. Men från någon tidpunkt blev gränsvärden mer nödvändiga för att göra effektiva prognoser på detta område. Dessa inkluderar marginalnytta, inkomst eller kostnad. Att förstå detta gav impulser till skapandet av ett helt nytt verktyg inom ekonomisk forskning,som har funnits och utvecklats i mer än hundra år.
För att göra sådana beräkningar, där sådana begrepp som minimum och maximum dominerar, är det helt enkelt nödvändigt att förstå den geometriska och fysiska innebörden av derivatan. Bland skaparna av den teoretiska grunden för dessa discipliner kan man nämna sådana framstående engelska och österrikiska ekonomer som US Jevons, K. Menger och andra. Naturligtvis är gränsvärden i ekonomiska beräkningar inte alltid bekväma att använda. Och till exempel, kvartalsrapporter passar inte nödvändigtvis in i det befintliga systemet, men ändå är tillämpningen av en sådan teori i många fall användbar och effektiv.
