Matriser (tabeller med numeriska element) kan användas för olika beräkningar. Vissa av dem är multiplikation med ett tal, en vektor, en annan matris, flera matriser. Varan är ibland felaktig. Ett felaktigt resultat är resultatet av okunnighet om reglerna för att utföra beräkningsåtgärder. Låt oss ta reda på hur man gör multiplikation.
Matrix och nummer
Låt oss börja med det enklaste - att multiplicera en tabell med tal med ett specifikt värde. Till exempel har vi en matris A med elementen aij (i är radnumren och j är kolumnnumren) och talet e. Produkten av matrisen med talet e blir matrisen B med elementen bij, som hittas av formeln:
bij=e × aij.
T. e. för att få elementet b11 måste du ta elementet a11 och multiplicera det med önskat tal, för att få b12 det krävs för att hitta produkten av elementet a12 och talet e, etc.
Låt oss lösa problemet nummer 1 som visas på bilden. För att få matris B, multiplicera helt enkelt elementen från A med 3:
- a11 × 3=18. Vi skriver in detta värde i matris B på den plats där kolumn nr 1 och rad nr 1 skär varandra.
- a21 × 3=15. Vi fick element b21.
- a12 × 3=-6. Vi fick elementet b12. Vi skriver in det i matris B på den plats där kolumn 2 och rad 1 skär varandra.
- a22 × 3=9. Detta resultat är element b22.
- a13 × 3=12. Ange detta tal i matrisen i stället för elementet b13.
- a23 × 3=-3. Det senast mottagna numret är element b23.
Därmed fick vi en rektangulär matris med numeriska element.
| 18 | –6 | 12 |
| 15 | 9 | –3 |
Vektorer och villkoret för existensen av en produkt av matriser
Inom matematiska discipliner finns det något som heter en "vektor". Denna term hänvisar till en ordnad uppsättning värden från a1 till a . De kallas vektorrymdskoordinater och skrivs som en kolumn. Det finns också termen "transponerad vektor". Dess komponenter är arrangerade som en sträng.
Vektorer kan kallas matriser:
- kolumnvektor är en matris byggd från en kolumn;
- radvektor är en matris som bara innehåller en rad.
När det är klartöver matriser för multiplikationsoperationer är det viktigt att komma ihåg att det finns ett villkor för existensen av en produkt. Beräkningsåtgärden A × B kan endast utföras när antalet kolumner i tabell A är lika med antalet rader i tabell B. Den resulterande matrisen som resulterar från beräkningen har alltid antalet rader i tabell A och antalet kolumner i tabell B.
När du multiplicerar, rekommenderas det inte att ordna om matriser (multiplikatorer). Deras produkt motsvarar vanligtvis inte den kommutativa (förskjutnings) lagen för multiplikation, d.v.s. resultatet av operationen A × B är inte lika med resultatet av operationen B × A. Denna egenskap kallas icke-kommutativiteten av produkten av matriser. I vissa fall är resultatet av multiplikationen A × B lika med resultatet av multiplikationen B × A, dvs produkten är kommutativ. Matriser för vilka likheten A × B=B × A gäller kallas permutationsmatriser. Se exempel på sådana tabeller nedan.
Multiplikation med en kolumnvektor
När vi multiplicerar en matris med en kolumnvektor måste vi ta hänsyn till villkoret för produktens existens. Antalet kolumner (n) i tabellen måste matcha antalet koordinater som utgör vektorn. Resultatet av beräkningen är den transformerade vektorn. Dess antal koordinater är lika med antalet linjer (m) från tabellen.
Hur beräknas koordinaterna för vektorn y om det finns en matris A och en vektor x? För beräkningar skapade formler:
y1=a11x1 + a12 x2 + … + a1 x , y2=a21x1 + a22x2 + … + a 2nx ,
…………………………………, ym=am1x1 + am2 x2 + … + amnx ,
där x1, …, x är koordinater från x-vektorn, m är antalet rader i matrisen och talet av koordinater i den nya y-vektorn, n är antalet kolumner i matrisen och antalet koordinater i x-vektorn, a11, a12, …, amn– element i matris A.
För att erhålla den i:te komponenten av den nya vektorn utförs således den skalära produkten. Den i:te radensvektorn tas från matrisen A och den multipliceras med den tillgängliga vektorn x.
Låt oss lösa problem 2. Du kan hitta produkten av en matris och en vektor eftersom A har 3 kolumner och x består av 3 koordinater. Som ett resultat bör vi få en kolumnvektor med 4 koordinater. Låt oss använda formlerna ovan:
- Räkna y1. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Slutvärdet är 2.
- Räkna y2. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Vid beräkning får vi 0,
- Räkna y3. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Summan av produkterna av de angivna faktorerna är 6.
- Räkna y4. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Koordinaten är -8.
Rad vektor-matrismultiplikation
Du kan inte multiplicera en matris med flera kolumner med en radvektor. I sådana fall är villkoret för arbetets existens inte uppfyllt. Men multiplikation av en radvektor med en matris är möjlig. Dettaberäkningsoperationen utförs när antalet koordinater i vektorn och antalet rader i tabellen matchar. Resultatet av produkten av en vektor och en matris är en ny radvektor. Dess antal koordinater måste vara lika med antalet kolumner i matrisen.
Beräkning av den första koordinaten för en ny vektor innebär att radvektorn och den första kolumnvektorn från tabellen multipliceras. Den andra koordinaten beräknas på liknande sätt, men istället för den första kolumnvektorn tas den andra kolumnvektorn. Här är den allmänna formeln för att beräkna koordinater:
yk=a1kx1+ a2kx2 + … + amkx m, där yk är en koordinat från y-vektorn, (k är mellan 1 och n), m är antalet rader i matrisen och antalet koordinater i x-vektorn är n antalet kolumner i matrisen och antalet koordinater i y-vektorn, a med alfanumeriska index är elementen i matrisen A.
Produkt av rektangulära matriser
Den här beräkningen kan verka komplicerad. Men multiplikation är lätt att göra. Låt oss börja med en definition. Produkten av en matris A med m rader och n kolumner och en matris B med n rader och p kolumner är en matris C med m rader och p kolumner, där elementet cij är summan av produkterna av elementen i-:te raden från tabell A och j:te kolumnen från tabell B. I enklare termer är elementet cij skalärprodukten av den i:te raden vektor från tabell A och den j:te kolumnvektorn från tabell B.
Låt oss nu i praktiken ta reda på hur man hittar produkten av rektangulära matriser. Låt oss för detta lösa problem nr 3. Villkoret för att det finns en produkt är uppfyllt. Låt oss börja beräkna elementen cij:
- Matrix C kommer att ha 2 rader och 3 kolumner.
- Beräkna element c11. För att göra detta utför vi skalärprodukten av rad nr 1 från matris A och kolumn nr 1 från matris B. c11=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Sedan fortsätter vi på ett liknande sätt, och ändrar endast rader, kolumner (beroende på elementindex).
- c12=12.
- c13=9.
- c21=31.
- c22=18.
- c23=36.
Elementen beräknas. Nu återstår bara att göra ett rektangulärt block av de mottagna numren.
| 16 | 12 | 9 |
| 31 | 18 | 36 |
Multiplikation av tre matriser: den teoretiska delen
Kan du hitta produkten av tre matriser? Denna beräkningsoperation är genomförbar. Resultatet kan erhållas på flera sätt. Till exempel finns det 3 kvadratiska tabeller (av samma ordning) - A, B och C. För att beräkna produkten kan du:
- Multiplicera först A och B. Multiplicera sedan resultatet med C.
- Hitta först produkten av B och C. Multiplicera sedan matris A med resultatet.
Om du behöver multiplicera rektangulära matriser måste du först se till att denna beräkningsoperation är möjlig. Skallprodukter A × B och B × C finns.
Inkrementell multiplikation är inte ett misstag. Det finns något sådant som "associativitet av matrismultiplikation". Denna term hänvisar till likheten (A × B) × C=A × (B × C).
Tree Matrix Multiplication Practice
Kvadratisk matris
Börja med att multiplicera små kvadratiska matriser. Bilden nedan visar problem nummer 4, som vi måste lösa.
Vi kommer att använda associativitetsegenskapen. Först multiplicerar vi antingen A och B, eller B och C. Vi kommer bara ihåg en sak: du kan inte byta faktorer, det vill säga du kan inte multiplicera B × A eller C × B. Med denna multiplikation får vi en felaktigt resultat.
Beslutsförlopp.
Steg ett. För att hitta den gemensamma produkten multiplicerar vi först A med B. När vi multiplicerar två matriser kommer vi att vägledas av reglerna som beskrivits ovan. Så resultatet av att multiplicera A och B blir en matris D med 2 rader och 2 kolumner, dvs en rektangulär matris kommer att innehålla 4 element. Låt oss hitta dem genom att göra beräkningen:
- d11=0 × 1 + 5 × 6=30;
- d12=0 × 4 + 5 × 2=10;
- d21=3 × 1 + 2 × 6=15;
- d22=3 × 4 + 2 × 2=16.
Mellanresultatet klart.
| 30 | 10 |
| 15 | 16 |
Steg två. Låt oss nu multiplicera matris D med matris C. Resultatet ska bli en kvadratisk matris G med 2 rader och 2 kolumner. Beräkna element:
- g11=30 × 8 + 10 × 1=250;
- g12=30 × 5 + 10 × 3=180;
- g21=15 × 8 + 16 × 1=136;
- g22=15 × 5 + 16 × 3=123.
Resultatet av produkten av kvadratiska matriser är alltså en tabell G med beräknade element.
| 250 | 180 |
| 136 | 123 |
Rektangulära matriser
Figuren nedan visar problem nummer 5. Det krävs att man multiplicerar rektangulära matriser och hittar en lösning.
Låt oss kontrollera om villkoret för existensen av produkterna A × B och B × C är uppfyllt. Ordningarna på de angivna matriserna tillåter oss att utföra multiplikation. Låt oss börja lösa problemet.
Beslutsförlopp.
Steg ett. Multiplicera B med C för att få D. Matris B har 3 rader och 4 kolumner, och matris C har 4 rader och 2 kolumner. Det betyder att vi får en matris D med 3 rader och 2 kolumner. Låt oss beräkna elementen. Här är två räkneexempel:
- d11=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
- d12=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.
Vi fortsätter att lösa problemet. Som ett resultat av ytterligare beräkningar hittar vi värdena d21, d2 2, d31 och d32. Dessa element är 0, 19, 1 respektive 11. Låt oss skriva de hittade värdena i en rektangulär array.
| 0 | 7 |
| 0 | 19 |
| 1 | 11 |
Steg två. Multiplicera A med D för att få den slutliga matrisen F. Den kommer att ha 2 rader och 2 kolumner. Beräkna element:
- f11=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
- f12=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
- f21=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
- f22=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.
Skapa en rektangulär matris, som är slutresultatet av att multiplicera tre matriser.
| 1 | 139 |
| 3 | 52 |
Introduktion till direktarbete
Ganska svårt att förstå material är Kronecker-produkten av matriser. Den har också ett extra namn - ett direkt verk. Vad menas med denna term? Låt oss säga att vi har tabell A i ordningen m × n och tabell B i ordningen p × q. Den direkta produkten av matris A och matris B är en matris av ordningen mp × nq.
Vi har 2 kvadratiska matriser A, B, som visas på bilden. Den första har 2 kolumner och 2 rader, och den andra har 3 kolumner och 3 rader. Vi ser att matrisen från den direkta produkten består av 6 rader och exakt samma antal kolumner.
Hur beräknas element i en ny matris i en direkt produkt? Att hitta svaret på denna fråga är mycket lätt om du analyserar bilden. Fyll först i den första raden. Ta det första elementet från den översta raden i tabell A och multiplicera sekventiellt med elementen i den första radenfrån tabell B. Ta sedan det andra elementet i den första raden i tabell A och multiplicera sekventiellt med elementen i den första raden i tabell B. För att fylla den andra raden, ta det första elementet från den första raden i tabell A igen och multiplicera det med elementen i den andra raden i tabell B.
Den slutliga matrisen som erhålls av direkt produkt kallas en blockmatris. Om vi analyserar figuren igen kan vi se att vårt resultat består av 4 block. Alla av dem inkluderar element av matris B. Dessutom multipliceras ett element i varje block med ett specifikt element i matris A. I det första blocket multipliceras alla element med a11, i andra - av a12, i tredje - på a21, i fjärde - på a22.
Produktdeterminant
När man överväger ämnet matrismultiplikation är det värt att överväga en sådan term som "determinanten för produkten av matriser". Vad är en determinant? Detta är en viktig egenskap hos en kvadratisk matris, ett visst värde som tilldelas denna matris. Den bokstavliga beteckningen på determinanten är det.
För en matris A som består av två kolumner och två rader är determinanten lätt att hitta. Det finns en liten formel som är skillnaden mellan produkterna av specifika element:
det A=a11 × a22 – a12 × a21.
Låt oss överväga ett exempel på beräkning av determinanten för en andra ordningens tabell. Det finns en matris A där a11=2, a12=3, a21=5 och a22=1. För att beräkna determinanten, använd formeln:
det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.
För 3 × 3 matriser beräknas determinanten med en mer komplex formel. Den presenteras nedan för matris A:
det A=a11a22a33 + a12 a23a31 + a13a21a 32 – a13a22a31 – a11 a23a32 – a12a21 a33.
För att komma ihåg formeln kom vi fram till triangelregeln, som illustreras på bilden. Först multipliceras elementen i huvuddiagonalen. Produkterna av de element som indikeras av vinklarna på trianglar med röda sidor läggs till det erhållna värdet. Därefter subtraheras produkten av elementen i den sekundära diagonalen och produkterna av de element som indikeras av hörnen på trianglar med blå sidor subtraheras.
Nu ska vi prata om determinanten för produkten av matriser. Det finns ett teorem som säger att denna indikator är lika med produkten av multiplikatortabellernas determinanter. Låt oss verifiera detta med ett exempel. Vi har matris A med poster a11=2, a12=3, a21=1 och a22=1 och matris B med poster b11=4, b12=5, b 21 =1 och b22=2. Hitta determinanterna för matriserna A och B, produkten A × B och determinanten för denna produkt.
Beslutsförlopp.
Steg ett. Beräkna determinanten för A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Beräkna sedan determinanten för B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.
Steg två. Låt oss hittaprodukt A × B. Beteckna den nya matrisen med bokstaven C. Beräkna dess element:
- c11=2 × 4 + 3 × 1=11;
- c12=2 × 5 + 3 × 2=16;
- c21=1 × 4 + 1 × 1=5;
- c22=1 × 5 + 1 × 2=7.
Steg tre. Beräkna determinanten för C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Jämför med värdet som kunde erhållas genom att multiplicera determinanterna för de ursprungliga matriserna. Siffrorna är desamma. Ovanstående sats är sann.
Produktrankning
Rangen på en matris är en egenskap som återspeglar det maximala antalet linjärt oberoende rader eller kolumner. För att beräkna rangen utförs elementära transformationer av matrisen:
- omarrangemang av två parallella rader;
- multiplicera alla element i en viss rad från tabellen med ett tal som inte är noll;
- lägga till elementen i en rad med element från en annan rad, multiplicerat med ett specifikt tal.
Efter elementära transformationer, titta på antalet strängar som inte är noll. Deras nummer är matrisens rangordning. Betrakta föregående exempel. Den presenterade 2 matriser: A med elementen a11=2, a12=3, a21=1 och a22 =1 och B med element b11=4, b12=5, b21=1 och b22=2. Vi kommer också att använda matrisen C som erhålls som ett resultat av multiplikation. Om vi utför elementära transformationer kommer det inte att finnas några nollrader i de förenklade matriserna. Detta betyder att både rangen av tabell A och rangen av tabell B, och rangenTabell C är 2.
Låt oss nu ägna särskild uppmärksamhet åt rangordningen för produkten av matriser. Det finns ett teorem som säger att rangordningen för en produkt av tabeller som innehåller numeriska element inte överstiger rangordningen för någon av faktorerna. Detta kan bevisas. Låt A vara en k × s matris och B vara en s × m matris. Produkten av A och B är lika med C.
Låt oss studera bilden ovan. Den visar den första kolumnen i matris C och dess förenklade notation. Denna kolumn är en linjär kombination av kolumnerna som ingår i matrisen A. På samma sätt kan man säga om vilken annan kolumn som helst från den rektangulära arrayen C. Således är delutrymmet som bildas av kolumnvektorerna i tabellen C i delutrymmet som bildas av kolumnvektorer i tabell A. Därmed överstiger dimensionen av delutrymme nr 1 inte dimensionen för delutrymme nr 2. Detta innebär att rangordningen i kolumner i tabell C inte överstiger rangordningen i kolumner i tabell A, dvs r(C) Hur man hittar produkten av matriser är ett ganska komplicerat ämne. Det kan lätt bemästras, men för att uppnå ett sådant resultat måste du lägga mycket tid på att memorera alla befintliga regler och teorem.
