Funktion och studiet av dess egenskaper är ett av nyckelkapitlen i modern matematik. Huvudkomponenten i alla funktioner är grafer som visar inte bara dess egenskaper utan också parametrarna för derivatan av denna funktion. Låt oss ta en titt på detta knepiga ämne. Så vad är det bästa sättet att hitta högsta och lägsta poäng för en funktion?
Funktion: Definition
Varje variabel som helst som på något sätt beror på värdena för ett annat värde kan kallas en funktion. Till exempel är funktionen f(x2) kvadratisk och bestämmer värdena för hela mängden x. Låt oss säga att x=9, då blir värdet på vår funktion lika med 92=81.
Funktioner finns i många olika typer: logisk, vektor, logaritmisk, trigonometrisk, numerisk och andra. Sådana framstående hjärnor som Lacroix, Lagrange, Leibniz och Bernoulli var engagerade i sina studier. Deras skrifter fungerar som ett bålverk i moderna sätt att studera funktioner. Innan du hittar minimipoängen är det mycket viktigt att förstå själva innebörden av funktionen och dess derivata.
Derivatet och dess roll
Alla funktioner är inkoppladeberoende på deras variabelvärden, vilket innebär att de kan ändra sitt värde när som helst. På grafen kommer detta att avbildas som en kurva som antingen sjunker eller stiger längs y-axeln (detta är hela uppsättningen "y"-tal längs grafens vertikala sida). Så definitionen av en punkt med ett maximum och ett minimum av funktion är bara kopplat till dessa "svängningar". Låt oss förklara vad detta förhållande är.
Derivatan av en funktion ritas på en graf för att studera dess huvudsakliga egenskaper och beräkna hur snabbt funktionen ändras (dvs. ändrar sitt värde beroende på variabeln "x"). I det ögonblick då funktionen ökar kommer grafen för dess derivata också att öka, men vilken sekund som helst kan funktionen börja minska, och då kommer grafen för derivatan att minska. De punkter där derivatan går från minus till plus kallas minimipoäng. För att veta hur man hittar minimipoängen bör du bättre förstå konceptet med derivatan.
Hur beräknar man derivatan?
Definition och beräkning av derivatan av en funktion innebär flera begrepp från differentialkalkyl. I allmänhet kan själva definitionen av derivatan uttryckas på följande sätt: detta är värdet som visar funktionens förändringshastighet.
Det matematiska sättet att bestämma det för många elever verkar komplicerat, men i själva verket är allt mycket enklare. Du behöver bara följastandardplan för att hitta derivatan av en funktion. Följande beskriver hur du kan hitta minimipunkten för en funktion utan att tillämpa reglerna för differentiering och utan att memorera tabellen med derivator.
- Du kan beräkna derivatan av en funktion med hjälp av en graf. För att göra detta måste du avbilda själva funktionen, sedan ta en punkt på den (punkt A i fig.) Dra en linje vertik alt ner till abskissaxeln (punkt x0), och vid punkt A rita en tangent till funktionsgrafik. Abskissaxeln och tangenten bildar en vinkel a. För att beräkna värdet på hur snabbt funktionen ökar måste du beräkna tangenten för denna vinkel a.
- Det visar sig att tangenten för vinkeln mellan tangenten och x-axelns riktning är derivatan av funktionen i ett litet område med punkt A. Denna metod anses vara ett geometriskt sätt att bestämma derivatan.
Metoder för att undersöka en funktion
I skolans läroplan för matematik är det möjligt att hitta minimipunkten för en funktion på två sätt. Vi har redan analyserat den första metoden med hjälp av grafen, men hur bestämmer man det numeriska värdet på derivatan? För att göra detta måste du lära dig flera formler som beskriver egenskaperna hos derivatan och hjälper till att omvandla variabler som "x" till tal. Följande metod är universell, så den kan tillämpas på nästan alla typer av funktioner (både geometriska och logaritmiska).
- Det är nödvändigt att likställa funktionen med derivatfunktionen och sedan förenkla uttrycket med reglernadifferentiering.
- dividera med noll).
- Därefter bör du konvertera den ursprungliga formen av funktionen till en enkel ekvation, som likställer hela uttrycket till noll. Till exempel, om funktionen såg ut så här: f(x)=2x3+38x, är dess derivata enligt reglerna för differentiering lika med f'(x)=3x 2 +1. Sedan omvandlar vi detta uttryck till en ekvation av följande form: 3x2+1=0.
- Efter att ha löst ekvationen och hittat punkterna "x" ska du rita dem på x-axeln och avgöra om derivatan i dessa områden mellan de markerade punkterna är positiv eller negativ. Efter beteckningen kommer det att bli klart vid vilken tidpunkt funktionen börjar minska, det vill säga den ändrar tecken från minus till det motsatta. Det är på detta sätt som du kan hitta både lägsta och högsta poäng.
Differentieringsregler
Den mest grundläggande delen av att lära sig en funktion och dess derivata är att känna till reglerna för differentiering. Endast med deras hjälp är det möjligt att omvandla besvärliga uttryck och stora komplexa funktioner. Låt oss bekanta oss med dem, det finns ganska många av dem, men de är alla väldigt enkla på grund av de vanliga egenskaperna hos både potens- och logaritmiska funktioner.
- Derivatan av en konstant är noll (f(x)=0). Det vill säga, derivatan f(x)=x5+ x - 160 kommer att ha följande form: f' (x)=5x4+1.
- Derivatan av summan av två termer: (f+w)'=f'w + fw'.
- Derivat av en logaritmisk funktion: (logad)'=d/ln ad. Den här formeln gäller för alla typer av logaritmer.
- Derivat av grad: (x)'=nxn-1. Till exempel, (9x2)'=92x=18x.
- Derivat av en sinusformad funktion: (sin a)'=cos a. Om sin för vinkel a är 0,5 så är dess derivata √3/2.
Extrempoäng
Vi har redan listat ut hur man hittar minimipoängen, men det finns konceptet med maximala poäng för en funktion. Om minimum anger de punkter där funktionen går från minus till plus, så är maximipunkterna de punkter på x-axeln där derivatan av funktionen ändras från plus till motsatt - minus.
Du kan hitta maxpoängen med metoden som beskrivs ovan, bara det bör beaktas att de betecknar de områden där funktionen börjar minska, det vill säga derivatan kommer att vara mindre än noll.
I matematik är det vanligt att generalisera båda begreppen och ersätta dem med frasen "extrema poäng". När uppgiften ber om att bestämma dessa poäng betyder det att det är nödvändigt att beräkna derivatan av denna funktion och hitta minimi- och maxpoängen.
