Ett viktigt begrepp i matematik är en funktion. Med dess hjälp kan du visualisera många processer som förekommer i naturen, spegla förhållandet mellan vissa kvantiteter med hjälp av formler, tabeller och bilder på en graf. Ett exempel är beroendet av trycket från ett vätskeskikt på en kropp på nedsänkningsdjupet, acceleration - på verkan av en viss kraft på ett föremål, temperaturökning - på den överförda energin och många andra processer. Studiet av en funktion involverar konstruktionen av en graf, förtydligandet av dess egenskaper, omfattning och värden, intervall för ökning och minskning. En viktig punkt i denna process är att hitta yttersta punkterna. Om hur man gör det rätt, så fortsätter konversationen.
Om själva konceptet i ett specifikt exempel
Inom medicin kan en funktionsgraf berätta om hur en sjukdom utvecklas i en patients kropp, vilket visuellt återspeglar hans tillstånd. Låt oss anta att tiden i dagar är plottad längs OX-axeln, och temperaturen på människokroppen är plottad längs OY-axeln. Figuren visar tydligt hur denna indikator stiger kraftigt, ochdå faller det. Det är också lätt att lägga märke till singulära punkter som återspeglar de ögonblick då funktionen, som tidigare har ökat, börjar minska, och vice versa. Dessa är extrempunkterna, det vill säga de kritiska värdena (maximum och minimum) i detta fall av patientens temperatur, varefter förändringar i hans tillstånd inträffar.
lutningsvinkel
Det är lätt att utifrån figuren avgöra hur derivatan av en funktion ändras. Om de raka linjerna i grafen går upp över tiden, så är det positivt. Och ju brantare de är, desto större värde har derivatan, när lutningsvinkeln ökar. Under perioder av minskning antar detta värde negativa värden och vänds till noll vid extrema punkter, och grafen för derivatan i det senare fallet ritas parallellt med OX-axeln.
Alla andra processer bör behandlas på samma sätt. Men det bästa med det här konceptet kan berätta om olika kroppars rörelser, vilket tydligt visas på graferna.
Movement
Anta att något föremål rör sig i en rak linje och ökar hastigheten jämnt. Under denna period representerar förändringen i kroppens koordinater grafiskt en viss kurva, som en matematiker skulle kalla en gren av en parabel. Samtidigt ökar funktionen hela tiden, eftersom koordinatindikatorerna ändras snabbare och snabbare för varje sekund. Hastighetsgrafen visar beteendet hos derivatan, vars värde också ökar. Det betyder att rörelsen inte har några kritiska punkter.
Det skulle ha fortsatt på obestämd tid. Men om kroppen plötsligt bestämmer sig för att sakta ner, stanna upp och börja röra på sig i en annanriktning? I det här fallet kommer koordinatindikatorerna att börja minska. Och funktionen kommer att passera det kritiska värdet och övergå från att öka till att minska.
I det här exemplet kan du återigen förstå att ytterpunkterna på funktionsgrafen visas vid de ögonblick då den upphör att vara monoton.
Fysisk betydelse av derivatan
Beskrivits tidigare visade tydligt att derivatan i huvudsak är funktionens förändringshastighet. Denna förfining innehåller sin fysiska betydelse. Extrema punkter är kritiska områden på diagrammet. Det är möjligt att ta reda på och upptäcka dem genom att beräkna värdet på derivatan, som visar sig vara lika med noll.
Det finns ett annat tecken, som är ett tillräckligt villkor för ett extremum. Derivatan på sådana böjningsställen ändrar sitt tecken: från "+" till "-" i området för maximum och från "-" till "+" i området för minimum.
Rörelse under påverkan av gravitationen
Låt oss föreställa oss en annan situation. Barnen, som spelade boll, kastade den på ett sådant sätt att den började röra sig i vinkel mot horisonten. I det första ögonblicket var detta föremåls hastighet störst, men under påverkan av gravitationen började den minska, och för varje sekund med samma värde, lika med ungefär 9,8 m/s2. Detta är värdet av den acceleration som sker under påverkan av jordens gravitation under fritt fall. På månen skulle den vara ungefär sex gånger mindre.
Graffen som beskriver kroppens rörelser är en parabel med grenar,nedåt. Hur hittar man extrema punkter? I detta fall är detta funktionens spets, där kroppens (bollens) hastighet får ett nollvärde. Funktionens derivata blir noll. I detta fall ändras riktningen, och därmed värdet på hastigheten, till det motsatta. Kroppen flyger ner för varje sekund snabbare och snabbare och accelererar lika mycket - 9,8 m/s2.
Andra derivatan
I föregående fall ritas grafen för hastighetsmodulen som en rät linje. Denna linje är först riktad nedåt, eftersom värdet på denna kvantitet ständigt minskar. Efter att ha nått noll vid en av tidpunkterna börjar indikatorerna för detta värde att öka, och riktningen för den grafiska representationen av hastighetsmodulen förändras dramatiskt. Linjen pekar nu uppåt.
Velocity, som är tidsderivatan av koordinaten, har också en kritisk punkt. I denna region börjar funktionen, initi alt minskande, att öka. Detta är platsen för extremumpunkten för funktionens derivata. I detta fall blir tangentens lutning noll. Och acceleration, som är den andra derivatan av koordinaten med avseende på tid, ändrar tecken från "-" till "+". Och rörelsen från jämnt långsam blir jämnt accelererad.
Accelerationsdiagram
Tänk nu på fyra bilder. Var och en av dem visar en graf över förändringen över tiden av en sådan fysisk storhet som acceleration. I fallet "A" förblir dess värde positivt och konstant. Det betyder att kroppens hastighet, liksom dess koordinat, hela tiden ökar. Om enföreställ dig att objektet kommer att röra sig på detta sätt under oändligt lång tid, funktionen som återspeglar koordinatens beroende av tiden kommer att visa sig vara ständigt ökande. Av detta följer att den inte har några kritiska regioner. Det finns inte heller några extrema punkter på grafen för derivatan, det vill säga linjärt växlande hastighet.
Detsamma gäller fall "B" med en positiv och ständigt ökande acceleration. Visserligen kommer plotterna för koordinater och hastighet att vara något mer komplicerade här.
När accelerationen tenderar till noll
När du tittar på bilden "B" kan du se en helt annan bild som kännetecknar kroppens rörelse. Dess hastighet kommer att visas grafiskt som en parabel med grenar som pekar nedåt. Om vi fortsätter linjen som beskriver förändringen i acceleration tills den skär OX-axeln, och vidare, då kan vi föreställa oss att upp till detta kritiska värde, där accelerationen visar sig vara lika med noll, kommer objektets hastighet att öka allt långsammare. Extremumpunkten för derivatan av koordinatfunktionen kommer att vara precis överst på parabeln, varefter kroppen radik alt kommer att förändra rörelsens karaktär och börja röra sig åt andra hållet.
I det senare fallet, "G", kan rörelsens karaktär inte bestämmas exakt. Här vet vi bara att det inte finns någon acceleration under en period under övervägande. Detta innebär att föremålet kan förbli på plats eller så sker rörelsen med konstant hastighet.
Koordineringsuppgift
Låt oss gå vidare till uppgifter som ofta finns i studier av algebra i skolan och som erbjuds förförberedelser inför provet. Figuren nedan visar grafen för funktionen. Det krävs för att beräkna summan av extrema punkter.
Låt oss göra detta för y-axeln genom att bestämma koordinaterna för kritiska områden där en förändring i funktionens egenskaper observeras. Enkelt uttryckt hittar vi värdena längs x-axeln för böjningspunkterna och fortsätter sedan med att lägga till de resulterande termerna. Enligt grafen är det uppenbart att de tar följande värden: -8; -7; -5; -3; -2; ett; 3. Detta summerar till -21, vilket är svaret.
Optimal lösning
Det är inte nödvändigt att förklara hur viktigt valet av den optimala lösningen kan vara för utförandet av praktiska uppgifter. Det finns trots allt många sätt att uppnå målet, och den bästa vägen ut är som regel bara en. Detta är extremt nödvändigt, till exempel när man designar fartyg, rymdfarkoster och flygplan, arkitektoniska strukturer för att hitta den optimala formen på dessa konstgjorda föremål.
Fordonens hastighet beror till stor del på den kompetenta minimeringen av motståndet de upplever när de rör sig genom vatten och luft, från överbelastningar som uppstår under påverkan av gravitationskrafter och många andra indikatorer. Ett fartyg till havs behöver sådana egenskaper som stabilitet under en storm, för ett flodfartyg är ett minimum djupgående viktigt. Vid beräkning av den optimala designen kan extremumpunkterna på grafen visuellt ge en uppfattning om den bästa lösningen på ett komplext problem. Uppgifter av detta slag är oftalöses i ekonomin, i ekonomiska områden, i många andra livssituationer.
Från antikens historia
Extrema problem upptog även de forntida visena. Grekiska forskare avslöjade framgångsrikt mysteriet med områden och volymer genom matematiska beräkningar. De var de första som förstod att på ett plan av olika figurer med samma omkrets har cirkeln alltid den största arean. På liknande sätt är en boll utrustad med den maximala volymen bland andra föremål i rymden med samma yta. Sådana kända personligheter som Arkimedes, Euklid, Aristoteles, Apollonius ägnade sig åt att lösa sådana problem. Heron lyckades mycket bra med att hitta extrema punkter, som, efter att ha tillgripit beräkningar, byggde geniala enheter. Dessa inkluderade automatiska maskiner som rör sig med hjälp av ånga, pumpar och turbiner som arbetar enligt samma princip.
Byggande av Kartago
Det finns en legend, vars handling är baserad på att lösa ett av de extrema problemen. Resultatet av det affärsmässiga tillvägagångssättet som visades av den feniciska prinsessan, som vände sig till de vise för att få hjälp, var byggandet av Kartago. Tomten för denna antika och berömda stad presenterades för Dido (det var namnet på härskaren) av ledaren för en av de afrikanska stammarna. Området för tilldelningen verkade honom först inte särskilt stort, eftersom det enligt kontraktet måste täckas med en oxhud. Men prinsessan beordrade sina soldater att skära den i tunna remsor och göra ett bälte av dem. Den visade sig vara så lång att den täckte platsen,där hela staden passade in.
Ursprunget till kalkyl
Och nu går vi från forntida tider till en senare era. Intressant nog, på 1600-talet fick Kepler förstå grunden för matematisk analys av ett möte med en vinförsäljare. Köpmannen var så insatt i sitt yrke att han lätt kunde bestämma volymen på drycken i fatet genom att helt enkelt sänka ner en järnstång i den. Genom att reflektera över en sådan nyfikenhet lyckades den berömda vetenskapsmannen lösa detta dilemma för sig själv. Det visar sig att dåtidens skickliga kukare fick kläm på att tillverka fartyg på ett sådant sätt att de vid en viss höjd och radie av fästringarnas omkrets skulle ha en maximal kapacitet.
Detta var av Keplers skäl för ytterligare reflektion. Bochars kom fram till den optimala lösningen genom ett långt sökande, misstag och nya försök, och överförde sina erfarenheter från generation till generation. Men Kepler ville påskynda processen och lära sig hur man gör samma sak på kort tid genom matematiska beräkningar. Alla hans utvecklingar, plockade upp av kollegor, förvandlades till Fermats och Newtons nu kända satser - Leibniz.
Problem med maximal yta
Låt oss föreställa oss att vi har en tråd med en längd på 50 cm. Hur gör man en rektangel av den med den största arean?
När man börjar med ett beslut bör man utgå från enkla och kända sanningar. Det är klart att omkretsen av vår figur kommer att vara 50 cm. Den består också av två gånger längden på båda sidorna. Detta betyder att efter att ha betecknat en av dem som "X", kan den andra uttryckas som (25 - X).
Härifrån får vien area lika med X (25 - X). Detta uttryck kan representeras som en funktion som antar många värden. Lösningen på problemet kräver att du hittar det maximala av dem, vilket innebär att du bör ta reda på ytterpunkterna.
För att göra detta hittar vi den första derivatan och likställer den med noll. Resultatet är en enkel ekvation: 25 - 2X=0.
Av den lär vi oss att en av sidorna X=12, 5.
Därför, en annan: 25 – 12, 5=12, 5.
Det visar sig att lösningen på problemet blir en kvadrat med en sida på 12,5 cm.
Hur hittar du maxhastigheten
Låt oss överväga ytterligare ett exempel. Föreställ dig att det finns en kropp vars rätlinjiga rörelse beskrivs av ekvationen S=- t3 + 9t2 – 24t – 8, där avståndet tillryggalagd uttrycks i meter och tiden är i sekunder. Det krävs för att hitta maxhastigheten. Hur man gör det? Nedladdat hitta hastigheten, det vill säga den första derivatan.
Vi får ekvationen: V=- 3t2 + 18t – 24. För att lösa problemet måste vi återigen hitta ytterpunkterna. Detta måste göras på samma sätt som i föregående uppgift. Hitta den första derivatan av hastigheten och likställ den med noll.
Vi får: - 6t + 18=0. Därav t=3 s. Detta är den tidpunkt då kroppens hastighet får ett kritiskt värde. Vi ersätter den erhållna datan i hastighetsekvationen och får: V=3 m/s.
Men hur ska man förstå att detta är exakt den maximala hastigheten, eftersom de kritiska punkterna för en funktion kan vara dess högsta eller lägsta värde? För att kontrollera måste du hitta en sekundderivata av hastighet. Det uttrycks som siffran 6 med ett minustecken. Detta betyder att den hittade punkten är den maximala. Och i fallet med ett positivt värde på den andra derivatan skulle det finnas ett minimum. Så den hittade lösningen visade sig vara korrekt.
De uppgifter som ges som exempel är bara en del av de som kan lösas genom att kunna hitta ytterpunkterna för en funktion. Det finns faktiskt många fler. Och sådan kunskap öppnar för obegränsade möjligheter för mänsklig civilisation.
