Lärandet av funktioner och deras grafer är ett ämne som ägnas särskild uppmärksamhet inom ramen för gymnasiets läroplan. Vissa grunder i matematisk analys - differentiering - ingår i profilnivån på provet i matematik. Vissa skolbarn har problem med detta ämne, eftersom de blandar ihop graferna för funktionen och derivatan och glömmer också algoritmerna. Den här artikeln kommer att täcka huvudtyperna av uppgifter och hur man löser dem.
Vad är funktionsvärdet?
En matematisk funktion är en speciell ekvation. Det etablerar ett samband mellan siffror. Funktionen beror på värdet på argumentet.
Värdet på funktionen beräknas enligt den givna formeln. För att göra detta, ersätt alla argument som motsvarar intervallet av giltiga värden i denna formel i stället för x och utför de nödvändiga matematiska operationerna. Vad?
Hur kan du hitta det minsta värdet på en funktion,använder du en graffunktion?
Grafisk representation av en funktions beroende av ett argument kallas en funktionsgraf. Den är byggd på ett plan med ett visst enhetssegment, där värdet på en variabel eller ett argument plottas längs den horisontella abskissaxeln, och motsvarande funktionsvärde längs den vertikala ordinataaxeln.
Ju större argumentet är, desto mer till höger ligger det på grafen. Och ju större värdet på själva funktionen är, desto högre är punkten.
Vad står det här? Funktionens minsta värde kommer att vara den punkt som ligger lägst på grafen. För att hitta det i ett diagramsegment behöver du:
1) Hitta och markera ändarna på detta segment.
2) Bestäm visuellt vilken punkt på detta segment som ligger lägst.
3) Som svar, skriv ner dess numeriska värde, vilket kan bestämmas genom att projicera en punkt på y-axeln.
Extrempoäng på derivatdiagrammet. Var ska man leta?
Men när man löser problem ges ibland en graf inte av en funktion, utan av dess derivata. För att undvika att av misstag göra ett dumt misstag är det bättre att noggrant läsa igenom villkoren, eftersom det beror på var du behöver leta efter extrema punkter.
Så, derivatan är den momentana ökningshastigheten för funktionen. Enligt den geometriska definitionen motsvarar derivatan lutningen på tangenten, som dras direkt till den givna punkten.
Det är känt att tangenten vid ytterpunkterna är parallell med Ox-axeln. Det betyder att dess lutning är 0.
Av detta kan vi dra slutsatsen att vid ytterpunkterna ligger derivatan på x-axeln eller försvinner. Men dessutom, vid dessa punkter, ändrar funktionen riktning. Det vill säga efter en period av ökning börjar den minska, och derivatet ändras följaktligen från positivt till negativt. Eller vice versa.
Om derivatan blir negativ från positiv är detta maxpunkten. Om från negativ blir det positivt - minimipunkten.
Viktigt: om du behöver ange en minimi- eller maxpunkt i uppgiften, bör du som svar skriva motsvarande värde längs abskissaxeln. Men om du behöver hitta värdet på funktionen, måste du först ersätta motsvarande värde på argumentet i funktionen och beräkna det.
Hur hittar man extrema poäng med derivata?
De övervägda exemplen hänvisar främst till uppgift nummer 7 i provet, som innebär att man arbetar med en graf av en derivata eller en antiderivata. Men uppgift 12 i USE - att hitta det minsta värdet av en funktion på ett segment (ibland det största) - utförs utan några ritningar och kräver grundläggande färdigheter i matematisk analys.
För att utföra det måste du kunna hitta extrema punkter med hjälp av derivatan. Algoritmen för att hitta dem är som följer:
- Hitta derivatan av en funktion.
- Ställ in den på noll.
- Hitta rötterna till ekvationen.
- Kontrollera om de erhållna punkterna är extrema eller böjningspunkter.
För att göra detta, rita ett diagram och vidarede resulterande intervallen bestämmer derivatans tecken genom att ersätta talen som hör till segmenten i derivatan. Om du, när du löser ekvationen, fick rötter av dubbel multiplicitet, är dessa böjningspunkter.
Genom att tillämpa satserna, bestäm vilka poäng som är minimum och vilka som är maximum
Beräkna det minsta värdet av en funktion med en derivata
Men efter att ha utfört alla dessa åtgärder kommer vi att hitta värdena för minimum- och maximumpunkterna längs x-axeln. Men hur hittar man det minsta värdet av en funktion i ett segment?
Vad behöver göras för att hitta numret som motsvarar funktionen vid en viss punkt? Du måste ersätta värdet på argumentet i den här formeln.
Poäng av minimum och maximum motsvarar det minsta och största värdet av funktionen på segmentet. Så för att hitta värdet på funktionen måste du beräkna funktionen med de erhållna x-värdena.
Viktigt! Om uppgiften kräver att du specificerar en minimum- eller maximipunkt, bör du som svar skriva motsvarande värde längs x-axeln. Men om du behöver hitta värdet på funktionen, måste du först ersätta motsvarande värde på argumentet i funktionen och utföra de nödvändiga matematiska operationerna.
Vad ska jag göra om det inte finns några låga nivåer i det här segmentet?
Men hur hittar man det minsta värdet av en funktion i ett segment utan extrema punkter?
Detta betyder att funktionen monotont minskar eller ökar på den. Sedan måste du ersätta värdet på extrempunkterna för detta segment i funktionen. Det finns två sätt.
1) Efter att ha beräknatderivata och de intervall på vilka den är positiv eller negativ, för att dra slutsatsen om funktionen minskar eller ökar på ett givet segment.
I enlighet med dem, ersätt ett större eller mindre värde av argumentet i funktionen.
2) Byt helt enkelt ut båda punkterna i funktionen och jämför de resulterande funktionsvärdena.
I vilka uppgifter det är valfritt att hitta derivatan
Som regel måste du fortfarande hitta derivatan i USE-tilldelningarna. Det finns bara ett par undantag.
1) Parabol.
Parabelns toppunkt hittas av formeln.
Om en < 0, är parabelns grenar riktade nedåt. Och dess topp är maxpunkten.
Om en > 0, då är parabelns grenar riktade uppåt, spetsen är minimipunkten.
När du har beräknat parabelns vertexpunkt bör du ersätta dess värde i funktionen och beräkna motsvarande värde för funktionen.
2) Funktion y=tg x. Eller y=ctg x.
Dessa funktioner ökar monotont. Därför, ju större värdet av argumentet, desto större värdet av själva funktionen. Därefter ska vi titta på hur man hittar det största och minsta värdet av en funktion i ett segment med exempel.
Huvudtyper av uppgifter
Uppgift: det största eller minsta värdet på funktionen. Exempel på diagrammet.
På bilden ser du grafen för derivatan av funktionen f (x) på intervallet [-6; 6]. Vid vilken punkt av segmentet [-3; 3] f(x) tar det minsta värdet?
Så till att börja med bör du välja det angivna segmentet. På den tar funktionen en gång ett nollvärde och ändrar dess tecken - detta är extremumpunkten. Eftersom derivatan från negativ blir positiv betyder det att detta är funktionens minimipunkt. Denna punkt motsvarar värdet på argumentet 2.
Svar: 2.
Fortsätt titta på exempel. Uppgift: hitta det största och minsta värdet av funktionen på segmentet.
Hitta det minsta värdet för funktionen y=(x - 8) ex-7 på intervallet [6; 8].
1. Ta derivatan av en komplex funktion.
y' (x)=(x - 8) ex-7 =(x - 8)' (ex-7) + (x - 8) (ex-7)'=1(ex-7) + (x - 8) (e x-7)=(1 + x - 8) (ex-7)=(x - 7) (ex-7 )
2. Jämställ den resulterande derivatan med noll och lös ekvationen.
y' (x)=0
(x - 7) (ex-7)=0
x - 7=0, eller ex-7=0
x=7; ex-7 ≠ 0, inga rötter
3. Ersätt värdet på extrempunkterna i funktionen, såväl som de erhållna rötterna till ekvationen.
y (6)=(6 - 8) e6-7=-2e-1
y (7)=(7 - 8) e7-7=-1e0=-11=- 1
y (8)=(8 - 8) e8-7=0e1=0
Svar: -1.
Så, i den här artikeln övervägdes huvudteorin om hur man hittar det minsta värdet av en funktion på ett segment, vilket är nödvändigt för att framgångsrikt lösa USE-uppgifter i specialiserad matematik. Även element av matematiskaanalyser används när man löser uppgifter från del C av provet, men de representerar uppenbarligen en annan komplexitetsnivå, och algoritmerna för deras lösningar är svåra att passa in i ramverket för ett material.
