Förmågan att arbeta med numeriska uttryck som innehåller en kvadratrot är nödvändig för en framgångsrik lösning av ett antal problem från OGE och USE. I dessa prov räcker det vanligtvis med en grundläggande förståelse för vad rotextraktion är och hur det går till i praktiken.
Definition
Den n:te roten av ett tal X är ett tal x för vilket likheten är sann: xn =X.
Att hitta värdet av ett uttryck med en rot innebär att hitta x givet X och n.
Kvadratroten eller, som är densamma, den andra roten av X - talet x för vilket likheten är uppfylld: x2 =X.
Beteckning: ∛Х. Här är 3 graden av roten, X är rotuttrycket. Tecknet '√' kallas ofta för en radikal.
Om siffran ovanför roten inte anger graden, är standardgraden 2.
I en skolkurs för jämna examina brukar negativa rötter och radikala uttryck inte beaktas. Det finns till exempel ingen√-2, och för uttrycket √4 är det korrekta svaret 2, trots att (-2)2 också är lika med 4.
Rationalitet och irrationalitet hos rötter
Den enklaste möjliga uppgiften med en rot är att hitta värdet av ett uttryck eller testa det för rationalitet.
Beräkna till exempel värdena √25; ∛8; ∛-125:
- √25=5 eftersom 52 =25;
- ∛8=2 eftersom 23 =8;
- ∛ - 125=-5 sedan (-5)3 =-125.
Svaren i de givna exemplen är rationella tal.
När man arbetar med uttryck som inte innehåller bokstavliga konstanter och variabler, rekommenderas det att alltid utföra en sådan kontroll med den omvända operationen att höja till en naturlig potens. Att hitta talet x i n:te potens är ekvivalent med att beräkna produkten av n faktorer av x.
Det finns många uttryck med en rot, vars värde är irrationellt, det vill säga skrivna som en oändlig icke-periodisk bråkdel.
Rationaler är per definition de som kan uttryckas som ett vanligt bråktal, och irrationaler är alla andra reella tal.
Dessa inkluderar √24, √0, 1, √101.
Om problemboken säger: hitta värdet på uttrycket med roten 2, 3, 5, 6, 7, etc., det vill säga från de naturliga tal som inte finns i kvadrattabellen, då är det korrekta svaret √ 2 kan finnas närvarande (om inget annat anges).
Bedömning
I problem medett öppet svar, om det är omöjligt att hitta värdet av ett uttryck med en rot och skriva det som ett rationellt tal, ska resultatet lämnas som en radikal.
Vissa uppgifter kan kräva utvärdering. Jämför till exempel 6 och √37. Lösningen kräver att man kvadrerar båda siffrorna och jämför resultaten. Av två tal är den vars kvadrat är större större. Den här regeln fungerar för alla positiva tal:
- 62 =36;
- 372 =37;
- 37 >36;
- betyder √37 > 6.
På samma sätt löses problem där flera nummer måste ordnas i stigande eller fallande ordning.
Exempel: Ordna 5, √6, √48, √√64 i stigande ordning.
Efter kvadreringen har vi: 25, 6, 48, √64. Man skulle kunna kvadrera alla siffror igen för att jämföra dem med √64, men det är lika med det rationella talet 8. 6 < 8 < 25 < 48, så lösningen är: 48.
Förenkla uttrycket
Det händer att det är omöjligt att hitta värdet av ett uttryck med en rot, så det måste förenklas. Följande formel hjälper till med detta:
√ab=√a√b.
Roten av produkten av två tal är lika med produkten av deras rötter. Denna operation kräver också förmågan att faktorisera ett tal.
I det inledande skedet, för att påskynda arbetet, rekommenderas att ha en tabell med primtal och rutor till hands. Dessa tabeller med tätaanvändning i framtiden kommer att komma ihåg.
Till exempel, √242 är ett irrationellt tal, du kan konvertera det så här:
- 242=2 × 121;
- √242=√(2 × 121);
- √2 × √121=√2 × 11.
Vanligtvis skrivs resultatet som 11√2 (läs: elva rötter av två).
Om det är svårt att omedelbart se vilka två faktorer ett tal behöver sönderdelas till för att en naturlig rot ska kunna extraheras från en av dem, kan du använda hela nedbrytningen till primtalsfaktorer. Om samma primtal förekommer två gånger i expansionen tas det ut ur rottecknet. När det finns många faktorer kan du extrahera roten i flera steg.
Exempel: √2400=√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5). Siffran 2 förekommer i expansionen 2 gånger (faktiskt mer än två gånger, men vi är fortfarande intresserade av de två första förekomsterna i expansionen).
Vi tar ut det under rottecknet:
√(2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5).
Upprepa samma åtgärd:
2√(2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5)=2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5).
I det återstående radikala uttrycket förekommer 2 och 3 en gång, så det återstår att ta ut faktorn 5:
2 × 2√(2 × 3 × 5 × 5)=5 × 2 × 2√(2 × 3);
och utför aritmetiska operationer:
5 × 2 × 2√(2 × 3)=20√6.
Så vi får √2400=20√6.
Om uppgiften inte uttryckligen anger: "hitta värdet av uttrycket med en kvadratrot", då valet,i vilken form man ska lämna svaret (om man ska extrahera roten under radikalen) ligger kvar hos eleven och kan bero på att problemet löses.
Till en början ställs höga krav på utformningen av uppgifter, beräkningen, inklusive muntlig eller skriftlig, utan användning av tekniska medel.
Först efter en god behärskning av reglerna för att arbeta med irrationella numeriska uttryck, är det vettigt att gå vidare till svårare bokstavliga uttryck och till att lösa irrationella ekvationer och beräkna intervallet av möjliga värden för uttrycket under radikal.
Studenter stöter på den här typen av problem vid Unified State Exam i matematik, såväl som under det första året på specialiserade universitet när de studerar matematisk analys och relaterade discipliner.
