Ett mekaniskt system som består av en materialpunkt (kropp) som hänger på en outtöjbar viktlös tråd (dess massa är försumbar jämfört med kroppens vikt) i ett enhetligt gravitationsfält kallas en matematisk pendel (ett annat namn är en oscillator). Det finns andra typer av denna enhet. Istället för en tråd kan en viktlös stav användas. En matematisk pendel kan tydligt avslöja essensen av många intressanta fenomen. Med en liten oscillationsamplitud kallas dess rörelse harmonisk.
Mekaniskt systemöversikt
Formeln för svängningsperioden för denna pendel härleddes av den holländska vetenskapsmannen Huygens (1629-1695). Denna samtida av I. Newton var mycket förtjust i detta mekaniska system. 1656 skapade han den första pendelklockan. De mätte tiden med exceptionellaför dessa tiders noggrannhet. Denna uppfinning har blivit en viktig milstolpe i utvecklingen av fysiska experiment och praktiska aktiviteter.
Om pendeln är i jämvikt (hänger vertik alt), kommer tyngdkraften att balanseras av kraften från trådspänningen. En platt pendel på en outtöjbar tråd är ett system med två frihetsgrader med anslutning. När du bara ändrar en komponent ändras egenskaperna hos alla dess delar. Så om tråden ersätts av en stång, kommer detta mekaniska system att ha endast 1 frihetsgrad. Vilka egenskaper har en matematisk pendel? I detta enklaste system uppstår kaos under påverkan av en periodisk störning. I det fall när upphängningspunkten inte rör sig, utan svänger, har pendeln ett nytt jämviktsläge. Med snabba upp- och nedsvängningar får detta mekaniska system en stabil upp och ner-läge. Hon har också ett eget namn. Den kallas Kapitzas pendel.
Pendelegenskaper
Matematisk pendel har mycket intressanta egenskaper. Alla av dem bekräftas av kända fysiska lagar. Svängningsperioden för någon annan pendel beror på olika omständigheter, såsom kroppens storlek och form, avståndet mellan upphängningspunkten och tyngdpunkten, massfördelningen i förhållande till denna punkt. Det är därför det är en ganska svår uppgift att bestämma perioden för en hängande kropp. Det är mycket lättare att beräkna perioden för en matematisk pendel, vars formel kommer att ges nedan. Som ett resultat av observationer av liknandemekaniska system kan upprätta följande mönster:
• Om vi, samtidigt som vi behåller samma längd på pendeln, hänger olika vikter, kommer perioden för deras svängningar att vara densamma, även om deras massor kommer att variera kraftigt. Därför beror perioden för en sådan pendel inte på lastens massa.
• När du startar systemet, om pendeln böjs av inte för stora, utan olika vinklar, kommer den att börja svänga med samma period, men med olika amplituder. Så länge avvikelserna från jämviktscentrum inte är för stora kommer svängningarna i sin form att vara ganska nära harmoniska. Perioden för en sådan pendel beror inte på oscillationsamplituden på något sätt. Denna egenskap hos detta mekaniska system kallas isokronism (översatt från grekiskan "chronos" - tid, "isos" - lika).
Perioden av den matematiska pendeln
Denna indikator representerar perioden med naturliga svängningar. Trots den komplexa formuleringen är själva processen väldigt enkel. Om längden på tråden i en matematisk pendel är L, och accelerationen av fritt fall är g, är detta värde:
T=2π√L/g
Perioden för små naturliga svängningar beror på inget sätt på pendelns massa och svängningarnas amplitud. I det här fallet rör sig pendeln som en matematisk pendel med en reducerad längd.
Den matematiska pendelns svängningar
En matematisk pendel oscillerar, vilket kan beskrivas med en enkel differentialekvation:
x + ω2 sin x=0, där x (t) är en okänd funktion (detta är vinkeln för avvikelsen från den nedrejämviktsposition vid tidpunkten t, uttryckt i radianer); ω är en positiv konstant, som bestäms av pendelns parametrar (ω=√g/L, där g är accelerationen för fritt fall och L är längden på den matematiska pendeln (upphängningen).
Ekvationen för små fluktuationer nära jämviktspositionen (harmonisk ekvation) ser ut så här:
x + ω2 sin x=0
Pendelns oscillerande rörelser
En matematisk pendel som gör att små svängningar rör sig längs en sinusform. Andra ordningens differentialekvation uppfyller alla krav och parametrar för en sådan rörelse. För att bestämma banan måste du ange hastighet och koordinat, från vilka oberoende konstanter sedan bestäms:
x=En synd (θ0 + ωt), där θ0 är den initiala fasen, A är oscillationsamplituden, ω är den cykliska frekvensen som bestäms av rörelseekvationen.
Matematisk pendel (formler för stora amplituder)
Detta mekaniska system, som gör sina svängningar med en betydande amplitud, lyder mer komplexa rörelselagar. För en sådan pendel beräknas de med formeln:
sin x/2=usn(ωt/u), där sn är Jacobisinus, som för u < 1 är en periodisk funktion, och för liten u sammanfaller den med en enkel trigonometrisk sinus. Värdet på u bestäms av följande uttryck:
u=(ε + ω2)/2ω2, där ε=E/mL2 (mL2 är pendelns energi).
Bestämma svängningsperioden för en icke-linjär pendelutförs enligt formeln:
T=2π/Ω, där Ω=π/2ω/2K(u), K är den elliptiska integralen, π - 3, 14.
Förflyttning av pendeln längs separatrix
En separatrix är en bana av ett dynamiskt system med ett tvådimensionellt fasutrymme. Den matematiska pendeln rör sig längs den icke-periodiskt. Vid ett oändligt avlägset ögonblick faller den från den extrema övre positionen till sidan med noll hastighet och tar sedan upp den gradvis. Den stannar så småningom och återgår till sin ursprungliga position.
Om amplituden för pendelns svängningar närmar sig talet π, indikerar detta att rörelsen på fasplanet närmar sig separatrixen. I det här fallet, under inverkan av en liten periodisk drivande kraft, uppvisar det mekaniska systemet ett kaotiskt beteende.
När den matematiska pendeln avviker från jämviktspositionen med en viss vinkel φ uppstår en tangentiell tyngdkraft Fτ=–mg sin φ. Minustecknet betyder att denna tangentiella komponent är riktad i motsatt riktning från pendelavböjningen. När pendelns förskjutning längs cirkelbågen med radien L betecknas med x, är dess vinkelförskjutning lika med φ=x/L. Isaac Newtons andra lag, designad för projektioner av accelerationsvektorn och kraften, kommer att ge det önskade värdet:
mg τ=Fτ=–mg sin x/L
Baserat på detta förhållande är det tydligt att denna pendel är ett icke-linjärt system, eftersom kraften som försöker återvändaden till jämviktspositionen är alltid proportionell inte mot förskjutningen x, utan mot sin x/L.
Endast när den matematiska pendeln gör små svängningar är det en harmonisk oscillator. Med andra ord blir det ett mekaniskt system som kan utföra harmoniska vibrationer. Denna approximation är praktiskt taget giltig för vinklar på 15–20°. Pendelsvängningar med stora amplituder är inte harmoniska.
Newtons lag för små oscillationer av en pendel
Om det här mekaniska systemet utför små vibrationer kommer Newtons andra lag att se ut så här:
mg τ=Fτ=–m g/L x.
Baserat på detta kan vi dra slutsatsen att den tangentiella accelerationen av den matematiska pendeln är proportionell mot dess förskjutning med ett minustecken. Detta är tillståndet på grund av vilket systemet blir en harmonisk oscillator. Modulen för den proportionella förstärkningen mellan förskjutning och acceleration är lika med kvadraten på den cirkulära frekvensen:
ω02=g/L; ω0=√ g/L.
Den här formeln återspeglar den naturliga frekvensen för små svängningar för denna typ av pendel. Baserat på detta
T=2π/ ω0=2π√ g/L.
Beräkningar baserade på lagen om energibevarande
Egenskaperna hos pendelns oscillerande rörelser kan också beskrivas med hjälp av lagen om energibevarande. I det här fallet bör man ta hänsyn till att pendelns potentiella energi i gravitationsfältet är:
E=mg∆h=mgL(1 – cos α)=mgL2sin2 α/2
Total mekanisk energiär lika med kinetisk eller maximal potential: Epmax=Ekmsx=E
Efter att lagen om energibevarande har skrivits, ta derivatan av ekvationens högra och vänstra sida:
Ep + Ek=const
Eftersom derivatan av konstanta värden är 0, är (Ep + Ek)'=0. Derivatan av summan är lika med summan av derivatorna:
Ep'=(mg/Lx2/2)'=mg/2L2xx'=mg/Lv + Ek'=(mv2/2)=m/2(v2)'=m/22vv'=mv α, därav:
Mg/Lxv + mva=v (mg/Lx + m α)=0.
Baserat på den sista formeln finner vi: α=- g/Lx.
Praktisk tillämpning av den matematiska pendeln
Accelerationen av fritt fall varierar med geografisk latitud, eftersom tätheten av jordskorpan över hela planeten inte är densamma. Där bergarter med högre densitet förekommer blir den något högre. Accelerationen av en matematisk pendel används ofta för geologisk utforskning. Det används för att söka efter olika mineraler. Helt enkelt genom att räkna antalet svängningar av pendeln kan du hitta kol eller malm i jordens tarmar. Detta beror på det faktum att sådana fossil har en densitet och massa som är större än de lösa stenarna som ligger under dem.
Den matematiska pendeln användes av så framstående vetenskapsmän som Sokrates, Aristoteles, Platon, Plutarchus, Arkimedes. Många av dem trodde att detta mekaniska system kunde påverka en persons öde och liv. Arkimedes använde en matematisk pendel i sina beräkningar. Nuförtiden, många ockultister och synskaanvänd det här mekaniska systemet för att uppfylla deras profetior eller söka efter försvunna personer.
Den berömda franske astronomen och naturforskaren K. Flammarion använde också en matematisk pendel för sin forskning. Han hävdade att han med sin hjälp kunde förutsäga upptäckten av en ny planet, uppkomsten av Tunguska-meteoriten och andra viktiga händelser. Under andra världskriget i Tyskland (Berlin) arbetade ett specialiserat Pendelinstitut. Idag är Müncheninstitutet för parapsykologi engagerat i liknande forskning. De anställda på denna institution kallar sitt arbete med pendeln för "radiesthesia".
