Genom att känna till avståndet från en punkt till ett plan eller till en rät linje kan du beräkna volymen och ytarean av figurer i rymden. Beräkningen av detta avstånd i geometri utförs med hjälp av motsvarande ekvationer för de specificerade geometriska objekten. I artikeln kommer vi att visa vilka formler som kan användas för att bestämma det.
Linje- och planekvationer
Innan vi ger formler för att bestämma avståndet från en punkt till ett plan och till en linje, låt oss visa vilka ekvationer som beskriver dessa objekt.
För att definiera en punkt används en uppsättning koordinater i det givna systemet av koordinataxlar. Här kommer vi bara att betrakta det kartesiska rektangulära systemet där axlarna har samma enhetsvektorer och är vinkelräta mot varandra. På ett plan beskrivs en godtycklig punkt med två koordinater, i rymden - med tre.
Olika typer av ekvationer används för att definiera en rät linje. I enlighet med ämnet för artikeln presenterar viendast två av dem, som används i tvådimensionellt utrymme för att definiera linjer.
Vektorekvation. Den har följande notation:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Den första termen här representerar koordinaterna för en känd punkt som ligger på linjen. Den andra termen är riktningsvektorkoordinaterna multiplicerade med ett godtyckligt tal λ.
Allmän ekvation. Dess notation är följande:
Ax + By + C=0;
där A, B, C är några koefficienter.
Den allmänna ekvationen används oftare för att bestämma linjer på ett plan, men för att hitta avståndet från en punkt till en linje på ett plan är det bekvämare att arbeta med ett vektoruttryck.
Ett plan i tredimensionellt rum kan också skrivas på flera matematiska sätt. Ändå finns det oftast i problem en generell ekvation, som skrivs så här:
Ax + By + Cz + D=0.
Fördelen med denna notation i förhållande till de andra är att den uttryckligen innehåller koordinaterna för en vektor vinkelrät mot planet. Denna vektor kallas en guide för den, den sammanfaller med normalens riktning och dess koordinater är lika med (A; B; C).
Observera att uttrycket ovan sammanfaller med formen av att skriva en generell ekvation för en rät linje i tvådimensionellt rum, så när du löser problem bör du vara försiktig så att du inte förväxlar dessa geometriska objekt.
Avstånd mellan punkt och linje
Låt oss visa hur man beräknar avståndet mellan en rät linje ochpunkt i tvådimensionellt utrymme.
Låt det finnas en punkt Q(x1; y1) och en rad som ges av:
(x; y)=(x0; y0) + λ(a; b).
Avståndet mellan en linje och en punkt förstås som längden av ett segment vinkelrätt mot denna linje, sänkt på den från punkten Q.
Innan du beräknar detta avstånd bör du ersätta Q-koordinaterna i denna ekvation. Om de uppfyller det, så tillhör Q den givna linjen, och motsvarande avstånd är lika med noll. Om punktens koordinater inte leder till likhet, är avståndet mellan geometriska objekt inte noll. Det kan beräknas med formeln:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Här är P en godtycklig punkt på den räta linjen, som är början på vektorn PQ¯. Vektorn u¯ är ett guidesegment för en rät linje, det vill säga dess koordinater är (a; b).
Att använda den här formeln kräver förmågan att beräkna korsprodukten i täljaren.
Problem med en punkt och en linje
Låt oss säga att du behöver hitta avståndet mellan Q(-3; 1) och en rät linje som uppfyller ekvationen:
y=5x -2.
Genom att ersätta Q-koordinaterna i uttrycket kan vi se till att Q inte ligger på linjen. Du kan tillämpa formeln för d som ges i stycket ovan om du representerar denna ekvation i vektorform. Låt oss göra så här:
(x; y)=(x; 5x -2)=>
(x; y)=(x; 5x) + (0; -2)=>
(x; y)=x(1; 5) + (0; -2)=>
(x; y)=(0; -2) + λ(1; 5).
Låt oss nu ta vilken punkt som helst på den här linjen, till exempel (0; -2), och bygga en vektor som börjar vid den och slutar på Q:
(-3; 1) - (0; -2)=(-3; 3).
Använd nu formeln för att bestämma avståndet, vi får:
d=|[(-3; 3)(1; 5)]|/|(1; 5)|=18/√26 ≈ 3, 53.
Avstånd från punkt till plan
Som i fallet med en rät linje, förstås avståndet mellan ett plan och en punkt i rymden som längden på segmentet, som från en given punkt sänks vinkelrätt mot planet och skär det.
I rymden ges en punkt av tre koordinater. Om de är lika med (x1; y1; z1), då är avståndet mellan planet och den punkten kan beräknas med formeln:
d=|Ax1 + By1 + Cz1+ D|/√(A2+B2+C2).
Observera att med hjälp av formeln kan du bara hitta avståndet från planet till linjen. För att hitta koordinaterna för den punkt där ett vinkelrät segment skär ett plan, är det nödvändigt att skriva en ekvation för linjen som detta segment tillhör, och sedan hitta en gemensam punkt för denna linje och ett givet plan.
Problem med ett plan och en punkt
Hitta avståndet från en punkt till ett plan om det är känt att punkten har koordinater (3; -1; 2) och planet ges av:
-y + 3z=0.
För att använda motsvarande formel skriver vi först ut koefficienterna förgivet plan. Eftersom variabeln x och den fria termen saknas, är koefficienterna A och D lika med noll. Vi har:
A=0; B=-1; C=3; D=0, Det är lätt att visa att detta plan passerar genom origo och att x-axeln tillhör det.
Ersätt punktens koordinater och planets koefficienter i formeln för avståndet d, så får vi:
d=|03 + (-1)(-1) + 23 + 0|/√(1 +9)=7/√10 ≈ 2, 21.
Observera att om du ändrar x-koordinaten för en punkt, kommer avståndet d inte att ändras. Detta faktum innebär att uppsättningen punkter (x; -1; 2) bildar en rät linje parallell med det givna planet.
