Beräkna vinkeln mellan en linje och ett plan. Samordna metod för att lösa problem

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

Ett av de vanligaste problemen inom stereometri är uppgifterna att korsa räta linjer och plan och beräkna vinklarna mellan dem. Låt oss i denna artikel överväga mer i detalj den så kallade koordinatmetoden och vinklarna mellan linjen och planet.

Linje och plan i geometri

Innan du överväger koordinatmetoden och vinkeln mellan en linje och ett plan bör du bekanta dig med de namngivna geometriska objekten.

En linje är en sådan samling punkter i rymden eller på ett plan, som var och en kan erhållas genom att linjärt överföra den föregående till en viss vektor. I det följande betecknar vi denna vektor med symbolen u¯. Om denna vektor multipliceras med ett tal som inte är lika med noll, får vi en vektor parallell med u¯. En linje är ett linjärt oändligt objekt.

Ett plan är också en samling punkter som är placerade på ett sådant sätt att om du skapar godtyckliga vektorer från dem, kommer alla att vara vinkelräta mot någon vektor n¯. Det senare kallas norm alt eller helt enkelt norm alt. Ett plan är, till skillnad från en rät linje, ett tvådimensionellt oändligt objekt.

Koordinatmetod för att lösa geometriproblem

Baserat på namnet på själva metoden kan vi dra slutsatsen att vi talar om en metod för att lösa problem, som är baserad på utförandet av analytiska sekventiella beräkningar. Med andra ord låter koordinatmetoden dig lösa geometriska problem med hjälp av universella algebraverktyg, vars huvudsakliga ekvationer är ekvationer.

Det bör noteras att den aktuella metoden dök upp i början av modern geometri och algebra. Ett stort bidrag till dess utveckling gjordes av Rene Descartes, Pierre de Fermat, Isaac Newton och Leibniz på 1600-1700-talen.

Kynen i metoden är att beräkna avstånd, vinklar, ytor och volymer för geometriska element baserat på koordinaterna för kända punkter. Observera att formen på de slutliga ekvationerna som erhålls beror på koordinatsystemet. Oftast används det rektangulära kartesiska systemet i problem, eftersom det är bekvämast att arbeta med.

Linjeekvation

Övervägande av koordinatmetoden och vinklarna mellan linjen och planet, låt oss börja med att ställa in linjens ekvation. Det finns flera sätt att representera linjer i algebraisk form. Här betraktar vi endast vektorekvationen, eftersom den lätt kan erhållas från den i vilken annan form som helst och är lätt att arbeta med.

Anta att det finns två punkter: P och Q. Det är känt att en linje kan dras genom dem, och detkommer att vara den enda. Den motsvarande matematiska representationen av elementet ser ut så här:

(x, y, z)=P + λPQ¯.

Där PQ¯ är en vektor vars koordinater erhålls enligt följande:

PQ¯=Q - P.

Tecknet λ betecknar en parameter som kan ta absolut vilket nummer som helst.

I det skrivna uttrycket kan du ändra vektorns riktning och även ersätta koordinaterna Q istället för punkten P. Alla dessa transformationer kommer inte att leda till en förändring av linjens geometriska placering.

Observera att när man löser problem, krävs det ibland att den skrivna vektorekvationen representeras i en explicit (parametrisk) form.

Ställa in ett plan i rymden

Förutom en rät linje finns det också flera former av matematiska ekvationer för ett plan. Bland dem noterar vi vektorn, ekvationen i segment och den allmänna formen. I den här artikeln kommer vi att ägna särskild uppmärksamhet åt det sista formuläret.

En allmän ekvation för ett godtyckligt plan kan skrivas på följande sätt:

Ax + By + Cz + D=0.

Latinska versaler är vissa siffror som definierar ett plan.

Bekvämligheten med denna notation är att den uttryckligen innehåller en vektor som är normal mot planet. Det är lika med:

n¯=(A, B, C).

Att känna till denna vektor gör det möjligt att, genom att kort titta på planets ekvation, föreställa sig platsen för den senare i koordinatsystemet.

Ömsesidigt arrangemang inlinjeavstånd och plan

I nästa stycke i artikeln går vi vidare till övervägandet av koordinatmetoden och vinkeln mellan linjen och planet. Här kommer vi att svara på frågan om hur de betraktade geometriska elementen kan placeras i rymden. Det finns tre sätt:

Den raka linjen skär planet. Med hjälp av koordinatmetoden kan du beräkna vid vilken enstaka punkt linjen och planet skär varandra.
Planet för en rät linje är parallellt. I det här fallet har ekvationssystemet för geometriska element ingen lösning. För att bevisa parallellitet används vanligtvis egenskapen för skalärprodukten av den räta linjens riktningsvektor och planets normal.
Planet innehåller en linje. När vi löser ekvationssystemet i detta fall kommer vi till slutsatsen att för vilket värde som helst av parametern λ erhålls den korrekta likheten.

I det andra och tredje fallet är vinkeln mellan de angivna geometriska objekten lika med noll. I det första fallet ligger den mellan 0 och 90o.

Beräkning av vinklar mellan linjer och plan

Låt oss nu gå direkt till ämnet för artikeln. Varje skärning av en linje och ett plan sker i någon vinkel. Denna vinkel bildas av själva den räta linjen och dess projektion på planet. En projektion kan erhållas om från vilken punkt som helst på en rät linje en vinkelrät sänks ner på planet, och sedan genom den erhållna skärningspunkten mellan planet och vinkelrät och skärningspunkten för planet och den ursprungliga linjen, rita en rak linje som blir en projektion.

Att beräkna vinklarna mellan linjer och plan är ingen svår uppgift. För att lösa det räcker det att känna till ekvationerna för motsvarande geometriska objekt. Låt oss säga att dessa ekvationer ser ut så här:

(x, y, z)=(x₀, y₀, z_{0) + λ(a, b, c);}

Ax + By + Cz + D=0.

Den önskade vinkeln är lätt att hitta med hjälp av egenskapen för produkten av skalärvektorerna u¯ och n¯. Den slutliga formeln ser ut så här:

θ=arcsin(|(u¯n¯)|/(|u¯||n¯|)).

Denna formel säger att sinus för vinkeln mellan en linje och ett plan är lika med förhållandet mellan modulen för skalärprodukten av de markerade vektorerna och produkten av deras längder. För att förstå varför sinus dök upp istället för cosinus, låt oss gå till bilden nedan.

Det kan ses att om vi tillämpar cosinusfunktionen får vi vinkeln mellan vektorerna u¯ och n¯. Den önskade vinkeln θ (α i figuren) erhålls enligt följande:

θ=90o- β.

Sinus visas som ett resultat av tillämpningen av reduktionsformlerna.

Exempelproblem

Låt oss gå vidare till den praktiska användningen av den förvärvade kunskapen. Låt oss lösa ett typiskt problem om vinkeln mellan en rät linje och ett plan. Följande koordinater för fyra punkter ges:

P=(1, -1, 0);

Q=(-1, 2, 2);

M=(0, 3, -1);

N=(-2, -1, 1).

Det är känt att genom poäng PQMett plan passerar genom det, och en rak linje passerar genom MN. Med hjälp av koordinatmetoden ska vinkeln mellan planet och linjen beräknas.

Låt oss först skriva ner ekvationerna för den räta linjen och planet. För en rak linje är det lätt att komponera den:

MN¯=(-2, -4, 2)=>

(x, y, z)=(0, 3, -1) + λ(-2, -4, 2).

För att göra ekvationen för planet, hittar vi först normalen till det. Dess koordinater är lika med vektorprodukten av två vektorer som ligger i det givna planet. Vi har:

PQ¯=(-2, 3, 2);

QM¯=(1, 1, -3)=>

n¯=[PQ¯QM¯]=(-11, -4, -5).

Låt oss nu ersätta koordinaterna för vilken punkt som helst som ligger i den i ekvationen för det allmänna planet för att få värdet av den fria termen D: