Ett typiskt geometriskt problem är att hitta vinkeln mellan linjer. På ett plan, om linjeekvationerna är kända, kan de ritas och vinkeln mätas med en gradskiva. Denna metod är dock mödosam och inte alltid möjlig. För att ta reda på den namngivna vinkeln är det inte nödvändigt att rita raka linjer, det kan beräknas. Den här artikeln kommer att svara på hur detta görs.
En rak linje och dess vektorekvation
Alla räta linjer kan representeras som en vektor som börjar på -∞ och slutar på +∞. I detta fall passerar vektorn genom någon punkt i rymden. Således kommer alla vektorer som kan ritas mellan två valfria punkter på en rät linje att vara parallella med varandra. Denna definition låter dig ställa in ekvationen för en rät linje i vektorform:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; b; c)
Här är vektorn med koordinater (a; b; c) guiden för denna linje som går genom punkten (x0; y0; z0). Parametern α låter dig överföra den angivna punkten till vilken annan punkt som helst för denna linje. Denna ekvation är intuitiv och lätt att arbeta med både i 3D-rymden och på ett plan. För ett plan kommer det inte att innehålla z-koordinaterna och tredje riktningens vektorkomponent.
Bekvämligheten med att utföra beräkningar och studera den relativa positionen för räta linjer på grund av användningen av en vektorekvation beror på att dess riktningsvektor är känd. Dess koordinater används för att beräkna vinkeln mellan linjer och avståndet mellan dem.
Allmän ekvation för en rak linje på ett plan
Låt oss uttryckligen skriva vektorekvationen för den räta linjen för det tvådimensionella fallet. Det ser ut som:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Nu beräknar vi parametern α för varje likhet och likställer de rätta delarna av de erhållna likheterna:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/b;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
När vi öppnar parenteserna och överför alla termer till ena sidan av jämlikhet får vi:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, där A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Det resulterande uttrycket kallas den allmänna ekvationen för en rät linje som ges i tvådimensionellt rum (i tredimensionell motsvarar denna ekvation ett plan parallellt med z-axeln, inte en rät linje).
Om vi uttryckligen skriver y till x i detta uttryck, får vi följande form, kändvarje elev:
y=kx + p, där k=-A/B, p=-C/B
Denna linjära ekvation definierar unikt en rak linje på planet. Det är väldigt enkelt att rita det enligt den välkända ekvationen, för detta ska du sätta x=0 och y=0 i tur och ordning, markera motsvarande punkter i koordinatsystemet och dra en rät linje som förbinder de erhållna punkterna.
Formel för vinkeln mellan linjer
På ett plan kan två linjer antingen skära eller vara parallella med varandra. I rymden, till dessa alternativ läggs möjligheten till förekomsten av sneda linjer. Vilken version av den relativa positionen för dessa endimensionella geometriska objekt än implementeras, kan vinkeln mellan dem alltid bestämmas med följande formel:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Där v1¯ och v2¯ är guidevektorerna för linje 1 respektive 2. Täljaren är modulen för punktprodukten för att utesluta trubbiga vinklar och endast ta hänsyn till skarpa vinklar.
Vektorerna v1¯ och v2¯ kan ges av två eller tre koordinater, medan formeln för vinkeln φ förblir oförändrad.
Parallellism och vinkelräta linjer
Om vinkeln mellan 2 linjer beräknad med formeln ovan är 0o, så sägs de vara parallella. För att avgöra om linjerna är parallella eller inte kan du inte beräkna vinkelnφ, det räcker att visa att en riktningsvektor kan representeras genom en liknande vektor på en annan linje, det vill säga:
v1¯=qv2¯
Här är q ett reellt tal.
Om linjeekvationerna ges som:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
då kommer de att vara parallella endast när koefficienterna för x är lika, det vill säga:
k1=k2
Detta faktum kan bevisas om vi överväger hur koefficienten k uttrycks i termer av koordinaterna för den räta linjens riktningsvektor.
Om skärningsvinkeln mellan linjer är 90o, så kallas de vinkelräta. För att bestämma linjers vinkelräthet är det inte heller nödvändigt att beräkna vinkeln φ, för detta räcker det att endast beräkna skalärprodukten av vektorerna v1¯ och v 2¯. Det måste vara noll.
I fallet med skärande räta linjer i rymden kan formeln för vinkeln φ också användas. I det här fallet bör resultatet tolkas korrekt. Den beräknade φ visar vinkeln mellan riktningsvektorerna för linjer som inte skär varandra och inte är parallella.
Uppgift 1. Vinkelräta linjer
Det är känt att linjeekvationerna har formen:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Det är nödvändigt att avgöra om dessa linjer ärvinkelrät.
Som nämnts ovan, för att besvara frågan, räcker det med att beräkna skalärprodukten av guidernas vektorer, som motsvarar koordinaterna (1; 2) och (-4; 2). Vi har:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Eftersom vi fick 0 betyder det att de betraktade linjerna skär varandra i rät vinkel, det vill säga de är vinkelräta.
Uppgift 2. Linje skärningsvinkel
Det är känt att två ekvationer för räta linjer har följande form:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Det är nödvändigt att hitta vinkeln mellan linjerna.
Eftersom koefficienterna för x har olika värden är dessa linjer inte parallella. För att hitta vinkeln som bildas när de skär varandra översätter vi var och en av ekvationerna till en vektorform.
För den första raden får vi:
(x; y)=(x; 2x - 1)
På höger sida av ekvationen har vi en vektor vars koordinater beror på x. Låt oss representera det som summan av två vektorer, och koordinaterna för den första kommer att innehålla variabeln x, och koordinaterna för den andra kommer uteslutande att bestå av tal:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Eftersom x tar godtyckliga värden kan det ersättas med parametern α. Vektorekvationen för den första raden blir:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Vi gör samma åtgärder med linjens andra ekvation, vi får:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Vi skrev om de ursprungliga ekvationerna i vektorform. Nu kan du använda formeln för skärningsvinkeln och ersätta koordinaterna för linjernas riktningsvektorer i den:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Således skär linjerna i fråga i en vinkel på 71,565o, eller 1,249 radianer.
Det här problemet kunde ha lösts annorlunda. För att göra detta var det nödvändigt att ta två godtyckliga punkter på varje rät linje, komponera direkta vektorer från dem och sedan använda formeln för φ.
