Metoder för att ställa in ekvationerna för linjer i planet och i tredimensionellt rum

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

Den raka linjen är det huvudsakliga geometriska objektet på planet och i tredimensionellt utrymme. Det är från raka linjer som många figurer byggs upp, till exempel: ett parallellogram, en triangel, ett prisma, en pyramid och så vidare. Betrakta i artikeln olika sätt att ställa in linjeekvationerna.

Definition av en rät linje och typer av ekvationer för att beskriva den

Varje elev har en bra uppfattning om vilket geometriskt objekt de pratar om. En rät linje kan representeras som en samling punkter, och om vi kopplar var och en av dem i tur och ordning med alla andra, får vi en uppsättning parallella vektorer. Med andra ord är det möjligt att komma till varje punkt på linjen från en av dess fasta punkter, överföra den till någon enhetsvektor multiplicerad med ett reellt tal. Denna definition av en rät linje används för att definiera en vektorlikhet för dess matematiska beskrivning både i planet och i det tredimensionella rummet.

En rät linje kan matematiskt representeras av följande typer av ekvationer:

general;
vektor;
parametrisk;
i segment;
symmetrisk (kanonisk).

Nästa kommer vi att överväga alla de namngivna typerna och visa hur man arbetar med dem med hjälp av exempel på att lösa problem.

Vektor- och parametrisk beskrivning av en rak linje

Låt oss börja med att definiera en rät linje genom en känd vektor. Antag att det finns en fast punkt i rymden M(x₀; y₀; z_{0). Det är känt att den räta linjen passerar genom den och är riktad längs vektorsegmentet v (a; b; c). Hur hittar man en godtycklig punkt på linjen från dessa data? Svaret på denna fråga ger följande likhet:}

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c)}

Där λ är ett godtyckligt tal.

Ett liknande uttryck kan skrivas för det tvådimensionella fallet, där koordinaterna för vektorer och punkter representeras av en uppsättning av två tal:

(x; y)=(x₀; y_{0) + λ(a; b)}

De skrivna ekvationerna kallas vektorekvationer, och det riktade segmentet v¯ i sig är riktningsvektorn för den räta linjen.

Från de skrivna uttrycken erhålls motsvarande parametriska ekvationer helt enkelt, det räcker att skriva om dem explicit. Till exempel, för fallet i rymden, får vi följande ekvation:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb;}

z=z_{0+ λc}

Det är bekvämt att arbeta med parametriska ekvationer om du behöver analysera beteendetvarje koordinat. Observera att även om parametern λ kan ha godtyckliga värden, måste den vara densamma i alla tre likheterna.

Allmän ekvation

Ett annat sätt att definiera en rät linje, som ofta används för att arbeta med det betraktade geometriska objektet, är att använda en generell ekvation. För det tvådimensionella fallet ser det ut så här:

Ax + By + C=0

Här representerar stora latinska bokstäver specifika numeriska värden. Bekvämligheten med denna likhet för att lösa problem ligger i det faktum att den uttryckligen innehåller en vektor som är vinkelrät mot en rät linje. Om vi betecknar det med n¯, då kan vi skriva:

n¯=[A; B]

Dessutom är uttrycket bekvämt att använda för att bestämma avståndet från en rak linje till någon punkt P(x₁; y_{1). Formeln för avstånd d är:}

d=|Ax₁+ By₁+ C| / √(A²+ B²⁾

Det är lätt att visa att om vi uttryckligen uttrycker variabeln y från den allmänna ekvationen, får vi följande välkända form av att skriva en rät linje:

y=kx + b

Där k och b bestäms unikt av talen A, B, C.

Ekvationen i segment och kanonisk

Skärning av koordinataxlar för en rät linje

Ekvationen i segment är lättast att få från den allmänna vyn. Vi visar dig hur du gör.

Anta att vi har följande rad:

Ax + By + C=0

Flytta den fria termen till höger sida av likheten, dividera sedan hela ekvationen med den, vi får:

Ax + By=-C;

x / (-C / A) + y / (-C / B)=1;

x / q + y / p=1, där q=-C / A, p=-C / B

Vi fick den så kallade ekvationen i segment. Den fick sitt namn på grund av det faktum att nämnaren som varje variabel delas med visar värdet på koordinaten för skärningspunkten mellan linjen och motsvarande axel. Det är bekvämt att använda detta faktum för att avbilda en rät linje i ett koordinatsystem, samt för att analysera dess relativa position i förhållande till andra geometriska objekt (räta linjer, punkter).

Låt oss nu gå vidare till att erhålla den kanoniska ekvationen. Detta är lättare att göra om vi överväger det parametriska alternativet. För väskan på planet har vi:

x=x_{0+ λa;}

y=y_{0+ λb}

Vi uttrycker parametern λ i varje likhet, sedan likställer vi dem, vi får:

λ=(x - x_{0) / a;}

λ=(y - y_{0) / b;}

(x - x₀) / a=(y - y_{0) / b}

Detta är den önskade ekvationen skriven i symmetrisk form. Precis som ett vektoruttryck innehåller det uttryckligen koordinaterna för riktningsvektorn och koordinaterna för en av punkterna som hör till linjen.

Det kan ses att vi i detta stycke har gett ekvationer för det tvådimensionella fallet. På samma sätt kan du skriva ekvationen för en rät linje i rymden. Det bör här noteras att om den kanoniska formenposter och uttryck i segment kommer att ha samma form, då representeras den allmänna ekvationen i rymden för en rät linje av ett system med två ekvationer för skärande plan.

Problemet med att konstruera ekvationen för en rät linje

Från geometri vet varje elev att genom två punkter kan du dra en enda linje. Antag att följande punkter är givna i koordinatplanet:

M_{1(1; 2);}

M_{2(-1; 3)}

Det är nödvändigt att hitta ekvationen för den linje som båda punkterna tillhör, i segment, i vektor, kanonisk och generell form.

Låt oss först ta fram vektorekvationen. För att göra detta, definiera för direktriktningsvektorn M₁M_2¯:

M₁M_{2¯=(-1; 3) - (1; 2)=(-2; 1)}

Nu kan du skapa en vektorekvation genom att ta en av de två punkter som anges i problemformuleringen, till exempel M_2:

(x; y)=(-1; 3) + λ(-2; 1)

För att få den kanoniska ekvationen räcker det att transformera den hittade likheten till en parametrisk form och exkludera parametern λ. Vi har:

x=-1 - 2λ, därför λ=x + 1 / (-2);

y=3 + λ, då får vi λ=y - 3;

x + 1 / (-2)=(y - 3) / 1

De återstående två ekvationerna (generell och i segment) kan hittas från den kanoniska genom att transformera den enligt följande:

x + 1=-2y + 6;

allmän ekvation: x + 2y - 5=0;

i segment ekvation: x / 5 + y / 2, 5=1

De resulterande ekvationerna visar att vektorn (1; 2) måste vara vinkelrät mot linjen. Faktum är att om du hittar dess skalära produkt med riktningsvektorn, kommer den att vara lika med noll. Linjesegmentekvationen säger att linjen skär x-axeln vid (5; 0) och y-axeln vid (2, 5; 0).

Problemet med att bestämma skärningspunkten för linjer

Två raka linjer ges på planet av följande ekvationer:

2x + y -1=0;

(x; y)=(0; -1) + λ(-1; 3)

Det är nödvändigt att bestämma koordinaterna för punkten där dessa linjer skär varandra.

Det finns två sätt att lösa problemet:

Omvandla vektorekvationen till en allmän form och lös sedan systemet med två linjära ekvationer.
Utför inga transformationer, utan ersätt helt enkelt koordinaten för skärningspunkten, uttryckt genom parametern λ, i den första ekvationen. Hitta sedan parametervärdet.

Låt oss göra det andra sättet. Vi har: