Linje och plan är de två viktigaste geometriska elementen som kan användas för att konstruera olika former i 2D- och 3D-rymden. Fundera på hur du hittar avståndet mellan parallella linjer och parallella plan.
Matteuppgift rak linje
Från skolans geometrikurs är det känt att i ett tvådimensionellt rektangulärt koordinatsystem kan en linje anges i följande form:
y=kx + b.
Där k och b är tal (parametrar). Den skrivna formen för att representera en linje i ett plan är ett plan som är parallellt med z-axeln i tredimensionellt rum. Med tanke på detta kommer vi i den här artikeln, för den matematiska tilldelningen av en rak linje, att använda en mer bekväm och universell form - en vektor.
Anta att vår linje är parallell med någon vektor u¯(a, b, c) och går genom punkten P(x0, y0, z0). I det här fallet, i vektorform, kommer dess ekvation att representeras enligt följande:
(x, y, z)=(x0, y 0, z0) + λ(a, b, c).
Här är λ vilket nummer som helst. Om vi uttryckligen representerar koordinaterna genom att utöka det skrivna uttrycket, kommer vi att få en parametrisk form av att skriva en rak linje.
Det är bekvämt att arbeta med en vektorekvation när man löser olika problem där det är nödvändigt att bestämma avståndet mellan parallella linjer.
Linjer och avståndet mellan dem
Det är vettigt att bara tala om avståndet mellan linjer när de är parallella (i det tredimensionella fallet finns det också ett avstånd som inte är noll mellan sneda linjer). Om linjerna skär varandra är det uppenbart att de är på noll avstånd från varandra.
Avståndet mellan parallella linjer är längden på den vinkelräta som förbinder dem. För att bestämma denna indikator räcker det att välja en godtycklig punkt på en av linjerna och släppa en vinkelrät från den till en annan.
Låt oss kortfattat beskriva proceduren för att hitta önskat avstånd. Antag att vi känner till vektorekvationerna för två linjer, som presenteras i följande allmänna form:
(x, y, z)=P + λu¯;
(x, y, z)=Q + βv¯.
Konstruera ett parallellogram på dessa linjer så att en av sidorna är PQ och den andra, till exempel, u. Uppenbarligen är höjden på denna figur, ritad från punkten P, längden på den erforderliga vinkelrät. För att hitta det kan du använda följande enkeltformel:
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|.
Eftersom avståndet mellan räta linjer är längden på det vinkelräta segmentet mellan dem, räcker det enligt det skrivna uttrycket att hitta modulen för vektorprodukten av PQ¯ och u¯ och dividera resultatet med längden på vektorn u¯.
Ett exempel på en uppgift för att bestämma avståndet mellan raka linjer
Två raka linjer ges av följande vektorekvationer:
(x, y, z)=(2, 3, -1) + λ(-2, 1, 3);
(x, y, z)=(1, 1, 1) + β(2, -1, -3).
Av de skrivna uttrycken är det tydligt att vi har två parallella linjer. Faktum är att om vi multiplicerar med -1 koordinaterna för riktningsvektorn för den första linjen, får vi koordinaterna för riktningsvektorn för den andra linjen, vilket indikerar deras parallellitet.
Avståndet mellan raka linjer kommer att beräknas med hjälp av formeln som skrevs i föregående stycke i artikeln. Vi har:
P(2, 3, -1), Q(1, 1, 1)=>PQ¯=(-1, -2, 2);
u¯=(-2, 1, 3).
Då får vi:
|u¯|=√14cm;
d=|[PQ¯u¯]|/|u¯|=√(90/14)=2,535 cm.
Observera att i stället för punkterna P och Q kan absolut alla punkter som hör till dessa rader användas för att lösa problemet. I det här fallet skulle vi få samma avstånd d.
Ställa in ett plan i geometri
Frågan om avståndet mellan linjerna diskuterades i detalj ovan. Låt oss nu visa hur man hittar avståndet mellan parallella plan.
Alla representerar vad ett plan är. Enligt den matematiska definitionen är det angivna geometriska elementet en samling punkter. Dessutom, om du komponerar alla möjliga vektorer med dessa punkter, kommer alla att vara vinkelräta mot en enda vektor. Den senare brukar kallas normalen till planet.
För att specificera ekvationen för ett plan i tredimensionellt rymd, används oftast ekvationens allmänna form. Det ser ut så här:
Ax + By + Cz + D=0.
Där stora latinska bokstäver är några siffror. Det är bekvämt att använda denna typ av planekvation eftersom koordinaterna för normalvektorn är uttryckligen givna i den. De är A, B, C.
Det är lätt att se att två plan är parallella endast när deras normaler är parallella.
Hur hittar man avståndet mellan två parallella plan ?
För att bestämma det angivna avståndet bör du tydligt förstå vad som står på spel. Avståndet mellan plan som är parallella med varandra förstås som längden på segmentet vinkelrätt mot dem. Ändarna på detta segment tillhör plan.
Algorithmen för att lösa sådana problem är enkel. För att göra detta måste du hitta koordinaterna för absolut vilken punkt som helst som hör till ett av de två planen. Sedan bör du använda den här formeln:
d=|Ax0+ By0+Cz0+ D|/√(A2 + B2 + C2).
Eftersom avståndet är ett positivt värde finns modultecknet i täljaren. Den skrivna formeln är universell, eftersom den låter dig beräkna avståndet från planet till absolut vilket geometriskt element som helst. Det räcker att känna till koordinaterna för en punkt i detta element.
För fullständighetens skull noterar vi att om normalerna för två plan inte är parallella med varandra, kommer sådana plan att skära varandra. Avståndet mellan dem blir då noll.
Problemet med att bestämma avståndet mellan plan
Det är känt att två plan ges av följande uttryck:
y/5 + x/(-3) + z/1=1;
-x + 3/5y + 3z – 2=0.
Det är nödvändigt att bevisa att planen är parallella, och även att bestämma avståndet mellan dem.
För att svara på den första delen av problemet måste du föra den första ekvationen till en allmän form. Observera att den ges i den så kallade formen av en ekvation i segment. Multiplicera dess vänstra och högra del med 15 och flytta alla termer till ena sidan av ekvationen, vi får:
-5x + 3y + 15z – 15=0.
Låt oss skriva ut koordinaterna för två normalvektorer för planen:
1¯=(-5, 3, 15);
2¯=(-1, 3/5, 3).
Det kan ses att om n2¯ multipliceras med 5, så får vi exakt koordinaterna n1¯. Således är de betraktade planenparallell.
För att beräkna avståndet mellan parallella plan, välj en godtycklig punkt för det första av dem och använd formeln ovan. Låt oss till exempel ta punkten (0, 0, 1) som hör till det första planet. Då får vi:
d=|Ax0+ By0+ Cz0 + D|/√(A2 + B2 + C2)=
=1/(√(1 + 9/25 + 9))=0,31 cm.
Önskat avstånd är 31 mm.
Avstånd mellan plan och linje
Den teoretiska kunskapen som tillhandahålls gör det också möjligt för oss att lösa problemet med att bestämma avståndet mellan en rät linje och ett plan. Det har redan nämnts ovan att formeln som är giltig för beräkningar mellan plan är universell. Det kan också användas för att lösa problemet. För att göra detta, välj bara valfri punkt som hör till den givna raden.
Det huvudsakliga problemet med att bestämma avståndet mellan de betraktade geometriska elementen är beviset på deras parallellitet (om inte, då d=0). Parallellism är lätt att bevisa om man beräknar skalärprodukten av normalen och riktningsvektorn för linjen. Om elementen i fråga är parallella kommer denna produkt att vara lika med noll.
