Vinklar mellan plan. Hur man bestämmer vinkeln mellan plan

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

När man löser geometriska problem i rymden finns det ofta sådana där det är nödvändigt att beräkna vinklarna mellan olika rumsliga objekt. I den här artikeln kommer vi att överväga frågan om att hitta vinklar mellan plan och mellan dem och en rät linje.

Linje i rymden

Det är känt att absolut vilken rät linje som helst i planet kan definieras av följande likhet:

y=ax + b

Här är a och b några siffror. Om vi representerar en rät linje i rymden med samma uttryck får vi ett plan parallellt med z-axeln. För den matematiska definitionen av den rumsliga linjen används en annan lösningsmetod än i det tvådimensionella fallet. Den består i att använda konceptet "riktningsvektor".

Riktningsvektorn för en rak linje visar dess orientering i rymden. Denna parameter tillhör raden. Eftersom det finns en oändlig uppsättning vektorer parallella i rymden, är det också nödvändigt att känna till koordinaterna för den punkt som hör till det för att unikt bestämma det betraktade geometriska objektet.

Anta att det finnspunkt P(x₀; y₀; z_{0) och riktningsvektor v¯(a; b; c), då kan ekvationen för en rät linje ges enligt följande:}

(x; y; z)=P + αv¯ eller

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + α(a; b; c)}

Detta uttryck kallas den parametriska vektorekvationen för en rät linje. Koefficienten α är en parameter som kan ta absolut alla reella värden. Koordinaterna för en linje kan representeras explicit genom att utöka denna likhet:

x=x_{0+ αa;}

y=y_{0+ αb;}

z=z_{0+ αc}

planets ekvation

Det finns flera sätt att skriva en ekvation för ett plan i rymden. Här kommer vi att överväga en av dem, som oftast används vid beräkning av vinklarna mellan två plan eller mellan ett av dem och en rät linje.

Om någon vektor n¯(A; B; C) är känd, som är vinkelrät mot det önskade planet, och punkten P(x₀; y ₀; z_{0), som hör till den, då är den allmänna ekvationen för den senare:}

Ax + By + Cz + D=0 där D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Vi har utelämnat härledningen av detta uttryck, vilket är ganska enkelt. Här noterar vi bara att, genom att känna till koefficienterna för variablerna i planets ekvation, kan man enkelt hitta alla vektorer som är vinkelräta mot det. De senare kallas normaler och används vid beräkning av vinklarna mellan lutande och planet och mellangodtyckliga analoger.

Planen för planen och formeln för vinkeln mellan dem

Låt oss säga att det finns två plan. Vilka är alternativen för deras relativa position i rymden. Eftersom planet har två oändliga dimensioner och en noll, är endast två alternativ för deras inbördes orientering möjliga:

• de kommer att vara parallella med varandra;
• de kan överlappa varandra.

Vinkeln mellan plan är indexet mellan deras riktningsvektorer, dvs. mellan deras normaler n₁¯ och n_2¯.

Självklart, om de är parallella med planet, är skärningsvinkeln noll mellan dem. Om de korsar varandra, är det noll, men alltid skarpt. Ett specialfall av skärningspunkt är vinkeln 90o, när planen är inbördes vinkelräta mot varandra.

Vinkeln α mellan n₁¯ och n_{2¯ är lätt att bestämma från skalärprodukten av dessa vektorer. Det vill säga formeln äger rum:}

α=arccos((n₁¯n₂¯)/(|n_{1 ¯| |n}2_¯|))

Antag att koordinaterna för dessa vektorer är: n₁¯(a₁; b₁; c₁), n₂¯(a₂; b_{2; c}2_{). Sedan, med hjälp av formlerna för att beräkna skalärprodukten och moduler av vektorer genom deras koordinater, kan uttrycket ovan skrivas om som:}

α=arccos(|a₁ a₂ + b₁ b ₂ +c₁ c₂| / (√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b ₂² + c₂²⁾⁾⁾

Modulen i täljaren dök upp för att utesluta värdena för trubbiga vinklar.

Exempel på att lösa problem för att bestämma skärningsvinkeln för plan

Vi vet hur man hittar vinkeln mellan planen och löser följande problem. Två plan ges, vars ekvationer är:

3x + 4y - z + 3=0;

-x - 2y + 5z +1=0

Vad är vinkeln mellan planen?

För att svara på frågan om problemet, låt oss komma ihåg att koefficienterna för variablerna i den allmänna ekvationen för planet är koordinaterna för guidevektorn. För de angivna planen har vi följande koordinater för deras normaler:

_{1¯(3; 4; -1);}

2¯(-1; -2; 5)

Nu hittar vi skalärprodukten av dessa vektorer och deras moduler, vi har:

(n₁¯n_{2¯)=-3 -8 -5=-16;}

|n_{1¯|=√(9 + 16 + 1)=√26;}

|n_{2¯|=√(1 + 4 + 25)=√30}

Nu kan du ersätta de hittade talen i formeln som ges i föregående stycke. Vi får:

α=arccos(|-16 | / (√26√30) ≈ 55, 05o

Det resulterande värdet motsvarar en spetsig skärningsvinkel för de plan som anges i villkoretuppgifter.

Tänk nu på ett annat exempel. Givet två plan:

x + y -3=0;

3x + 3y + 8=0

Skärs de varandra? Låt oss skriva ut värdena för koordinaterna för deras riktningsvektorer, beräkna deras skalära produkt och moduler:

_{1¯(1; 1; 0);}

2¯(3; 3; 0);

(n₁¯n_{2¯)=3 + 3 + 0=6;}

|n_1¯|=√2;

|n_2¯|=√18

Då är skärningsvinkeln:

α=arccos(|6| / (√2√18)=0o.

Denna vinkel indikerar att planen inte skär varandra, utan är parallella. Att de inte matchar varandra är lätt att kontrollera. Låt oss ta för detta en godtycklig punkt som tillhör den första av dem, till exempel P(0; 3; 2). Ersätt dess koordinater i den andra ekvationen, vi får:

30 +33 + 8=17 ≠ 0

Det vill säga, punkten P hör bara till det första planet.

Så två plan är parallella när deras normaler är det.

Plan och rak linje

När det gäller den relativa positionen mellan ett plan och en rät linje, finns det flera fler alternativ än med två plan. Detta faktum är kopplat till det faktum att den räta linjen är ett endimensionellt föremål. Linje och plan kan vara:

• ömsesidigt parallella, i detta fall skär planet inte linjen;
• det senare kan tillhöra planet, medan det också kommer att vara parallellt med det;
• båda objekten kanskär i någon vinkel.

Låt oss överväga det sista fallet först, eftersom det kräver introduktion av begreppet skärningsvinkel.

Linje och plan, vinkeln mellan dem

Om en rät linje skär ett plan, kallas det lutande i förhållande till det. Skärningspunkten kallas lutningens bas. För att bestämma vinkeln mellan dessa geometriska objekt är det nödvändigt att sänka en rak vinkelrät mot planet från vilken punkt som helst. Sedan bildar skärningspunkten för vinkelrät med planet och skärningsplatsen för den lutande linjen med den en rak linje. Det senare kallas projiceringen av den ursprungliga linjen på det aktuella planet. Den spetsiga vinkeln mellan linjen och dess projektion är den som krävs.

Något förvirrande definition av vinkeln mellan ett plan och en snedställning kommer att förtydliga figuren nedan.

Här är vinkeln ABO vinkeln mellan linjen AB och planet a.

För att skriva ner formeln för det, överväg ett exempel. Låt det finnas en rät linje och ett plan, som beskrivs av ekvationerna:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z_{0) + λ(a; b; c);}

Ax + Bx + Cx + D=0

Det är lätt att beräkna den önskade vinkeln för dessa objekt om du hittar den skalära produkten mellan riktningsvektorerna för linjen och planet. Den resulterande spetsiga vinkeln ska subtraheras från 90o, sedan erhålls den mellan en rät linje och ett plan.

Figuren ovan visar den beskrivna algoritmen för att hittabetraktad vinkel. Här är β vinkeln mellan normalen och linjen, och α är mellan linjen och dess projektion på planet. Det kan ses att deras summa är 90o.

Ovan presenterades en formel som svarar på frågan om hur man hittar en vinkel mellan plan. Nu ger vi motsvarande uttryck för fallet med en rät linje och ett plan:

α=arcsin(|aA + bB + cC| / (√(a ² + b² + c ²)√(A ² + B ² + C ²⁾⁾⁾

Modulen i formeln tillåter endast spetsa vinklar att beräknas. Arcsinusfunktionen uppträdde istället för arccosinusen på grund av användningen av motsvarande reduktionsformel mellan trigonometriska funktioner (cos(β)=sin(90o-β)=sin(α)).

Problem: Ett plan skär en rak linje

Låt oss nu visa hur man arbetar med formeln ovan. Låt oss lösa problemet: det är nödvändigt att beräkna vinkeln mellan y-axeln och planet som ges av ekvationen:

y - z + 12=0

Detta plan visas på bilden.

Du kan se att den skär y- och z-axlarna i punkterna (0; -12; 0) respektive (0; 0; 12) och är parallell med x-axeln.

Riktningsvektorn för linjen y har koordinater (0; 1; 0). En vektor vinkelrät mot ett givet plan kännetecknas av koordinater (0; 1; -1). Vi tillämpar formeln för skärningsvinkeln för en rät linje och ett plan, vi får:

α=arcsin(|1| / (√1√2))=arcsin(1 / √2)=45o

Problem: rak linje parallell med planet

Låt oss nu bestämma ossliknande det tidigare problemet, frågan om vilken ställs annorlunda. Ekvationerna för planet och den räta linjen är kända:

x + y - z - 3=0;

(x; y; z)=(1; 0; 0) + λ(0; 2; 2)

Det är nödvändigt att ta reda på om dessa geometriska objekt är parallella med varandra.

Vi har två vektorer: riktningen på den räta linjen är (0; 2; 2) och riktningen på planet är (1; 1; -1). Hitta deras prickprodukt:

01 + 12 - 12=0

Den resulterande nollan indikerar att vinkeln mellan dessa vektorer är 90o, vilket bevisar att linjen och planet är parallella.

Låt oss nu kontrollera om denna linje bara är parallell eller också ligger i planet. För att göra detta, välj en godtycklig punkt på linjen och kontrollera om den tillhör planet. Låt oss till exempel ta λ=0, då hör punkten P(1; 0; 0) till linjen. Ersätt i ekvationen för planet P:

1 - 3=-2 ≠ 0

Punkten P tillhör inte planet, vilket gör att hela linjen inte heller ligger i det.

Var är det viktigt att känna till vinklarna mellan de betraktade geometriska objekten?

Ovanstående formler och exempel på problemlösning är inte bara av teoretiskt intresse. De används ofta för att bestämma viktiga fysiska kvantiteter av verkliga tredimensionella figurer, såsom prismor eller pyramider. Det är viktigt att kunna bestämma vinkeln mellan planen när man beräknar figurernas volymer och ytorna på deras ytor. Dessutom, om det i fallet med ett rakt prisma är möjligt att inte använda dessa formler för att bestämmaangivna värden, för alla typer av pyramid är deras användning oundviklig.

Betrakta ett exempel på hur ovanstående teori används för att bestämma vinklarna på en pyramid med en kvadratisk bas.

Pyramid och dess hörn

Figuren nedan visar en pyramid, vid vars bas ligger en kvadrat med sidan a. Höjden på figuren är h. Behöver hitta två hörn:

• mellan sidoyta och bas;
• mellan sidoribban och bas.

För att lösa problemet måste du först gå in i koordinatsystemet och bestämma parametrarna för motsvarande hörn. Figuren visar att origo för koordinater sammanfaller med punkten i centrum av den kvadratiska basen. I detta fall beskrivs basplanet med ekvationen:

z=0

Det vill säga för alla x och y är värdet på den tredje koordinaten alltid noll. Sidoplanet ABC skär z-axeln i punkten B(0; 0; h), och y-axeln i punkten med koordinaterna (0; a/2; 0). Den korsar inte x-axeln. Det betyder att ekvationen för ABC-planet kan skrivas som:

y / (a/2) + z / h=1 eller

2hy + az - ah=0

Vector AB¯ är en sidokant. Dess start- och slutkoordinater är: A(a/2; a/2; 0) och B(0; 0; h). Sedan koordinaterna för själva vektorn:

AB¯(-a/2; -a/2; h)

Vi har hittat alla nödvändiga ekvationer och vektorer. Nu återstår att använda de övervägda formlerna.

Först beräknar vi i pyramiden vinkeln mellan basens planoch sida. Motsvarande normalvektorer är: n₁¯(0; 0; 1) och n_{2¯(0; 2h; a). Då blir vinkeln:}

α=arccos(a / √(4h² + a²⁾⁾

Vinkeln mellan plan och kant AB blir:

β=arcsin(h / √(a² / 2 + h²⁾⁾

Det återstår att ersätta de specifika värdena på sidan av basen a och höjden h för att få de önskade vinklarna.