Tröghetsmoment för en materiell punkt och en stel kropp: formler, Steiners sats, ett exempel på att lösa ett problem

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

Kvantitativ studie av rotationsrörelsens dynamik och kinematik kräver kunskap om tröghetsmomentet för en materialpunkt och en stel kropp i förhållande till rotationsaxeln. Vi kommer att överväga i artikeln vilken parameter vi talar om, och även ge en formel för att bestämma den.

Allmän information om den fysiska kvantiteten

Först, låt oss definiera tröghetsmomentet för en materialpunkt och en stel kropp, och sedan visa hur det ska användas för att lösa praktiska problem.

Under den angivna fysiska egenskapen för en punkt med massan m, som roterar runt axeln på ett avstånd r, avses följande värde:

I=mr².

Där det följer att måttenheten för den studerade parametern är kilogram per kvadratmeter (kgm²).

Om, istället för en punkt runt en axel, en kropp med komplex form roterar, som har en godtycklig fördelning av massa inuti sig själv, så bestäms dess tröghetsmomentalltså:

I=∫_m(r²dm)=ρ∫_V(r²dV).

Där ρ är kroppens densitet. Med hjälp av integralformeln kan du bestämma värdet på I för absolut alla rotationssystem.

Tröghetsmoment har exakt samma betydelse för rotation som massa har för translationell rörelse. Alla vet till exempel att det är lättast att rotera en golvmopp runt en axel som går genom dess handtag än genom en vinkelrät. Detta beror på det faktum att tröghetsmomentet i det första fallet är mycket mindre än i det andra.

Jag värdesätter kroppar av olika former

När man löser problem inom fysik för rotation är det ofta nödvändigt att känna till tröghetsmomentet för en kropp med en specifik geometrisk form, till exempel för en cylinder, kula eller stång. Om vi tillämpar formeln skriven ovan för I, är det lätt att få motsvarande uttryck för alla markerade kroppar. Nedan är formlerna för några av dem:

stav: I=1 / 12ML²;

cylinder: I=1/2MR²;

sfär: I=2/5MR².

Här anges jag för rotationsaxeln, som passerar genom kroppens masscentrum. I fallet med en cylinder är axeln parallell med figurens generator. Tröghetsmomentet för andra geometriska kroppar och alternativ för placeringen av rotationsaxlarna finns i motsvarande tabeller. Observera att för att bestämma I olika figurer räcker det att bara känna till en geometrisk parameter och kroppens massa.

Steiners sats och formel

Tröghetsmoment kan bestämmas om rotationsaxeln är placerad på något avstånd från kroppen. För att göra detta bör du känna till längden på detta segment och värdet I_O för kroppen i förhållande till axeln som går genom mitten av dess massa, som ska vara parallell med den under hänsyn. Att upprätta en koppling mellan parametern I_O och det okända värdet I är fixerat i Steiners sats. Tröghetsmomentet för en materiell punkt och en stel kropp skrivs matematiskt enligt följande:

I=I_O+ Mh².

Här är M kroppens massa, h är avståndet från masscentrum till rotationsaxeln, i förhållande till vilken det är nödvändigt att beräkna I. Detta uttryck är lätt att få fram på egen hand om du använd integralformeln för I och ta hänsyn till att alla punkter i kroppen är på avstånd r=r₀ + h.

Steiners teorem förenklar definitionen av jag avsevärt för många praktiska situationer. Till exempel, om du behöver hitta I för en stång med längden L och massan M med avseende på en axel som passerar genom dess ände, kan du genom att tillämpa Steinersatsen skriva:

I=I_O+ M(L / 2)²=1/12ML ²+ ML² / 4=ML² / 3.

Du kan hänvisa till motsvarande tabell och se att den innehåller exakt denna formel för en tunn stång med en rotationsaxel i slutet.

Momentekvation

I rotationsfysiken finns en formel som kallas momentekvationen. Det ser ut så här:

M=Iα.

Här är M kraftmomentet, α är vinkelaccelerationen. Som du kan se är tröghetsmomentet för en materialpunkt och en stel kropp och kraftmomentet linjärt relaterade till varandra. Värdet M bestämmer möjligheten för någon kraft F för att skapa en rotationsrörelse med acceleration α i systemet. För att beräkna M, använd följande enkla uttryck:

M=Fd.

Där d är momentets skuldra, vilket är lika med avståndet från kraftvektorn F till rotationsaxeln. Ju mindre armen d är, desto mindre förmåga har kraften att skapa rotation av systemet.

Momentekvationen i sin betydelse överensstämmer helt med Newtons andra lag. I det här fallet spelar jag rollen som tröghetsmassan.

Exempel på problemlösning

Låt oss föreställa oss ett system som är en cylinder fixerad på en vertikal axel med en viktlös horisontell stång. Det är känt att rotationsaxeln och cylinderns huvudaxel är parallella med varandra, och avståndet mellan dem är 30 cm. Cylinderns massa är 1 kg och dess radie är 5 cm. En kraft på 10 N tangent till rotationsbanan verkar på figuren, vars vektor passerar genom cylinderns huvudaxel. Det är nödvändigt att bestämma figurens vinkelacceleration, som denna kraft kommer att orsaka.

Först, låt oss beräkna tröghetsmomentet för I-cylindern. För att göra detta, tillämpa Steiner-satsen, vi har:

I=I_O+ M d²=1/2MR² + Md²=1/210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².

Innan du använder momentekvationen måste du göra detbestäm kraftmomentet M. I det här fallet har vi:

M=Fd=100, 3=3 Nm.

Nu kan du bestämma accelerationen:

α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².

Den beräknade vinkelaccelerationen indikerar att cylinderns hastighet varje sekund kommer att öka med 5,2 varv per sekund.