Steiners sats eller parallellaxlarnas sats för beräkning av tröghetsmomentet

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

I den matematiska beskrivningen av rotationsrörelse är det viktigt att känna till systemets tröghetsmoment kring axeln. I det allmänna fallet innebär förfarandet för att hitta denna kvantitet genomförandet av integrationsprocessen. Den så kallade Steinersatsen gör det lättare att beräkna. Låt oss överväga det mer i detalj i artikeln.

Vad är tröghetsmoment?

Innan du ger formuleringen av Steiners sats är det nödvändigt att ta itu med själva begreppet tröghetsmoment. Antag att det finns någon kropp med en viss massa och godtycklig form. Denna kropp kan vara antingen en materiell punkt eller vilket tvådimensionellt eller tredimensionellt föremål som helst (stav, cylinder, kula, etc.). Om objektet i fråga gör en cirkulär rörelse runt någon axel med konstant vinkelacceleration α, så kan följande ekvation skrivas:

M=Iα

Här representerar värdet M det totala kraftmomentet, vilket ger acceleration α till hela systemet. Proportionalitetskoefficienten mellan dem - I, kallaströghetsmoment. Denna fysiska kvantitet beräknas med följande allmänna formel:

I=∫_m (r²dm)

Här är r avståndet mellan elementet med massan dm och rotationsaxeln. Detta uttryck betyder att det är nödvändigt att hitta summan av produkterna av de kvadratiska avstånden r² och den elementära massan dm. Det vill säga, tröghetsmomentet är inte en ren egenskap hos kroppen, vilket skiljer den från linjär tröghet. Det beror på fördelningen av massa genom det föremål som roterar, såväl som på avståndet till axeln och på kroppens orientering i förhållande till den. Till exempel kommer en stång att ha ett annat I om den roteras runt massans centrum och runt änden.

tröghetsmoment och Steiners teorem

Den berömda schweiziska matematikern Jakob Steiner bevisade satsen om parallella axlar och tröghetsmomentet, som nu bär hans namn. Denna sats postulerar att tröghetsmomentet för absolut varje stel kropp med godtycklig geometri i förhållande till någon rotationsaxel är lika med summan av tröghetsmomentet kring den axel som skär kroppens masscentrum och är parallell med den första, och produkten av kroppsmassan gånger kvadraten på avståndet mellan dessa axlar. Matematiskt skrivs denna formulering så här:

I_Z=I_O + ml²

I_Z och I_O - tröghetsmoment kring Z-axeln och O-axeln parallellt med den, som passerar genom kroppens massacentrum, l - avstånd mellan linjerna Z och O.

Satsen gör det möjligt att, med kännedom om värdet av I_O, beräknanågot annat ögonblick I_Z kring en axel som är parallell med O.

Bevis för satsen

Steinersatsformeln kan enkelt erhållas själv. För att göra detta, överväg en godtycklig kropp på xy-planet. Låt ursprunget för koordinaterna passera genom denna kropps masscentrum. Låt oss beräkna tröghetsmomentet I_O som passerar genom origo vinkelrätt mot xy-planet. Eftersom avståndet till någon punkt i kroppen uttrycks med formeln r=√ (x² + y²), så får vi integralen:

I_O=∫_m (r²dm)=∫ m _((x2^+y2^{) dm)}

Låt oss nu flytta axeln parallellt längs x-axeln med ett avstånd l, till exempel i positiv riktning, då kommer beräkningen för den nya axeln för tröghetsmomentet att se ut så här:

I_Z=∫_m(((x+l)²+y ²)dm)

Utöka hela kvadraten inom parentes och dividera integranderna, vi får:

I_Z=∫_m ((x²+l ²+2xl+y²)dm)=∫_m ((x²⁾ +y²)dm) + 2l∫_m (xdm) + l ²∫_mdm

Den första av dessa termer är värdet I_O, den tredje termen, efter integration, ger termen l²m, och här är den andra termen noll. Nollställningen av den angivna integralen beror på att den är hämtad från produkten av x och masselement dm, som imedelvärde ger noll, eftersom masscentrum ligger vid utgångspunkten. Som ett resultat erhålls formeln för Steinersatsen.

Det aktuella fallet på planet kan generaliseras till en tredimensionell kropp.

Kontrollerar Steiner-formeln på exemplet med en stav

Låt oss ge ett enkelt exempel för att visa hur man använder ovanstående sats.

Det är känt att för en stav med längden L och massan m är tröghetsmomentet I_O(axeln går genom massans centrum) lika med m L² /12, och ögonblicket I_Z(axeln går genom änden av stången) är lika med mL 2^{/3. Låt oss kontrollera dessa data med Steiners teorem. Eftersom avståndet mellan de två axlarna är L/2, får vi ögonblicket I}Z_:

I_Z=I_O+ m(L/2)²=mL²/12 + mL²/4=4mL² /12=mL²/3

Det vill säga, vi kontrollerade Steiner-formeln och fick samma värde för I_Z som i källan.

Liknande beräkningar kan utföras för andra kroppar (cylinder, kula, skiva), samtidigt som de nödvändiga tröghetsmomenten erhålls och utan att utföra integration.

tröghetsmoment och vinkelräta axlar

Den övervägda satsen gäller parallella axlar. För fullständig information är det också användbart att ge ett teorem för vinkelräta axlar. Det är formulerat enligt följande: för ett platt föremål med godtycklig form kommer tröghetsmomentet kring en axel vinkelrät mot det att vara lika med summan av två tröghetsmoment ungefär två inbördes vinkelräta och liggandei axelobjektets plan, med alla tre axlarna som går genom samma punkt. Matematiskt skrivs detta så här:

I_z=I_x + I_y

Här är z, x, y tre inbördes vinkelräta rotationsaxlar.

Den väsentliga skillnaden mellan denna sats och Steiners sats är att den endast kan tillämpas på platta (tvådimensionella) solida föremål. Men i praktiken används det flitigt, ment alt skär kroppen i separata lager och lägger sedan till de erhållna tröghetsmomenten.