Inom geometri, efter en punkt, är en rät linje kanske det enklaste elementet. Den används i konstruktionen av alla komplexa figurer på planet och i tredimensionellt utrymme. I den här artikeln kommer vi att överväga den allmänna ekvationen för en rät linje och lösa ett par problem med att använda den. Låt oss komma igång!
Rak linje i geometri
Alla vet att former som rektangel, triangel, prisma, kub och så vidare bildas av skärande räta linjer. En rät linje i geometri är ett endimensionellt objekt som kan erhållas genom att överföra en viss punkt till en vektor som har samma eller motsatt riktning. För att bättre förstå denna definition, föreställ dig att det finns någon punkt P i rymden. Ta en godtycklig vektor u¯ i detta utrymme. Då kan vilken punkt Q som helst på linjen erhållas som ett resultat av följande matematiska operationer:
Q=P + λu¯.
Här är λ ett godtyckligt tal som kan vara positivt eller negativt. Om jämlikhetskriv ovan i termer av koordinater, då får vi följande ekvation av en rät linje:
(x, y, z)=(x0, y0, z0) + λ(a, b, c).
Denna likhet kallas ekvationen för en rät linje i vektorform. Och vektorn u¯ kallas en guide.
Allmän ekvation för en rät linje i ett plan
Varje elev kan skriva ner det utan svårighet. Men oftast skrivs ekvationen så här:
y=kx + b.
Där k och b är godtyckliga tal. Siffran b kallas gratismedlem. Parametern k är lika med tangenten för vinkeln som bildas av skärningen av den räta linjen med x-axeln.
Ovanstående ekvation uttrycks med avseende på variabeln y. Om vi presenterar det i en mer allmän form får vi följande notation:
Ax + By + C=0.
Det är lätt att visa att denna form av att skriva den allmänna ekvationen för en rät linje på ett plan lätt omvandlas till den tidigare formen. För att göra detta ska de vänstra och högra delarna divideras med faktorn B och uttryckas y.
Figuren ovan visar en rät linje som går genom två punkter.
En linje i 3D-rymden
Låt oss fortsätta vår studie. Vi övervägde frågan om hur ekvationen för en rät linje i allmän form ges på ett plan. Om vi använder notationen i föregående stycke i artikeln för det rumsliga fallet, vad får vi? Allt är enkelt - inte längre en rak linje, utan ett plan. Faktum är att följande uttryck beskriver ett plan som är parallellt med z-axeln:
Ax + By + C=0.
Om C=0, så passerar ett sådant plangenom z-axeln. Detta är en viktig funktion.
Hur är man då med den allmänna ekvationen för en rät linje i rymden? För att förstå hur man frågar det måste du komma ihåg något. Två plan skär varandra längs en viss rät linje. Vad betyder det här? Bara att den allmänna ekvationen är resultatet av att lösa ett system med två ekvationer för plan. Låt oss skriva detta system:
- A1x + B1y + C1z + D 1=0;
- A2x + B2y + C2z + D 2=0.
Detta system är den allmänna ekvationen för en rät linje i rymden. Observera att planen inte får vara parallella med varandra, det vill säga deras normalvektorer måste luta i någon vinkel i förhållande till varandra. Annars har systemet inga lösningar.
Ovan gav vi vektorformen för ekvationen för en rät linje. Det är bekvämt att använda när man löser detta system. För att göra detta måste du först hitta vektorprodukten av normalerna för dessa plan. Resultatet av denna operation blir en riktningsvektor för en rät linje. Därefter ska varje punkt som hör till linjen beräknas. För att göra detta måste du ställa in någon av variablerna lika med ett visst värde, de två återstående variablerna kan hittas genom att lösa det reducerade systemet.
Hur översätter man en vektorekvation till en generell? Nyanser
Detta är ett verkligt problem som kan uppstå om du behöver skriva den allmänna ekvationen för en rät linje med hjälp av de kända koordinaterna för två punkter. Låt oss visa hur detta problem löses med ett exempel. Låt koordinaterna för två punkter vara kända:
- P=(x1, y1);
- Q=(x2, y2).
Ekvation i vektorform är ganska lätt att komponera. Riktningsvektorkoordinaterna är:
PQ=(x2-x1, y2-y 1).
Observera att det inte är någon skillnad om vi subtraherar Q-koordinaterna från koordinaterna för punkten P, vektorn kommer bara att ändra sin riktning till motsatt. Nu ska du ta vilken punkt som helst och skriva ner vektorekvationen:
(x, y)=(x1, y1) + λ(x2 -x1, y2-y1).
För att skriva den allmänna ekvationen för en rät linje, bör parametern λ uttryckas i båda fallen. Och jämför sedan resultaten. Vi har:
x=x1 + λ(x2-x1)=> λ=(x-x1)/(x2-x1);
y=y1 + λ(y2-y1)=> λ=(y-y1)/(y2-y1)=>
(x-x1)/(x2-x1)=(y-y 1)/(y2-y1).
Det återstår bara att öppna parenteserna och överföra alla termer i ekvationen till ena sidan av ekvationen för att få ett allmänt uttryck för en rät linje som går genom två kända punkter.
I fallet med ett tredimensionellt problem bevaras lösningsalgoritmen, endast dess resultat blir ett system med två ekvationer för plan.
Uppgift
Det är nödvändigt att göra en generell ekvationen rät linje som skär x-axeln vid (-3, 0) och är parallell med y-axeln.
Låt oss börja lösa problemet genom att skriva ekvationen i vektorform. Eftersom linjen är parallell med y-axeln kommer riktningsvektorn för den att vara följande:
u¯=(0, 1).
Då kommer den önskade raden att skrivas enligt följande:
(x, y)=(-3, 0) + λ(0, 1).
Låt oss nu översätta detta uttryck till en allmän form, för detta uttrycker vi parametern λ:
- x=-3;
- y=λ.
Alltså, vilket värde som helst på variabeln y tillhör raden, men endast det enda värdet på variabeln x motsvarar det. Därför kommer den allmänna ekvationen att ha formen:
x + 3=0.
Problem med en rak linje i rymden
Det är känt att två skärande plan ges av följande ekvationer:
- 2x + y - z=0;
- x - 2y + 3=0.
Det är nödvändigt att hitta vektorekvationen för den räta linje längs vilken dessa plan skär varandra. Låt oss komma igång.
Som det sades är den allmänna ekvationen för en rät linje i tredimensionellt rymden redan given i form av ett system av två med tre okända. Först och främst bestämmer vi riktningsvektorn längs vilken planen skär varandra. Om vi multiplicerar vektorkoordinaterna för normalerna med planen får vi:
u¯=[(2, 1, -1)(1, -2, 0)]=(-2, -1, -5).
Eftersom multiplicering av en vektor med ett negativt tal ändrar dess riktning, kan vi skriva:
u¯=-1(-2, -1, -5)=(2, 1, 5).
Tillför att hitta ett vektoruttryck för en rät linje, förutom riktningsvektorn, bör man känna till någon punkt på denna räta linje. Hitta eftersom dess koordinater måste uppfylla ekvationssystemet i problemets tillstånd, då kommer vi att hitta dem. Låt oss till exempel sätta x=0, då får vi:
y=z;
y=3/2=1, 5.
Punkten som hör till den önskade räta linjen har alltså koordinaterna:
P=(0, 1, 5, 1, 5).
Då får vi svaret på detta problem, vektorekvationen för den önskade linjen kommer att se ut så här:
(x, y, z)=(0, 1, 5, 1, 5) + λ(2, 1, 5).
Lösningens korrekthet kan enkelt kontrolleras. För att göra detta måste du välja ett godtyckligt värde för parametern λ och ersätta de erhållna koordinaterna för punkten på den räta linjen i båda ekvationerna för planen, du kommer att få en identitet i båda fallen.
