Plan i rymden. Plats för plan i rymden

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

Ett plan är ett geometriskt objekt vars egenskaper används vid konstruktion av projektioner av punkter och linjer, samt vid beräkning av avstånd och dihedriska vinklar mellan element i tredimensionella figurer. Låt oss i den här artikeln överväga vilka ekvationer som kan användas för att studera platsen för plan i rymden.

Plane definition

Alla föreställer sig intuitivt vilket objekt som kommer att diskuteras. Ur en geometrisk synvinkel är ett plan en samling punkter, alla vektorer mellan vilka måste vara vinkelräta mot någon vektor. Till exempel, om det finns m olika punkter i rymden, kan m(m-1) / 2 olika vektorer göras från dem, som kopplar ihop punkterna i par. Om alla vektorer är vinkelräta mot någon riktning är detta ett tillräckligt villkor för att alla punkter m hör till samma plan.

Allmän ekvation

I rumslig geometri beskrivs ett plan med ekvationer som vanligtvis innehåller tre okända koordinater som motsvarar x-, y- och z-axlarna. Tillfå den allmänna ekvationen i plankoordinater i rymden, anta att det finns en vektor n¯(A; B; C) och en punkt M(x₀; y₀; z_{0). Med dessa två objekt kan planet definieras unikt.}

Antag faktiskt att det finns någon andra punkt P(x; y; z) vars koordinater är okända. Enligt definitionen ovan måste vektorn MP¯ vara vinkelrät mot n¯, det vill säga den skalära produkten för dem är lika med noll. Sedan kan vi skriva följande uttryck:

(n¯MP¯)=0 eller

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

När vi öppnar parenteserna och introducerar en ny koefficient D, får vi uttrycket:

Ax + By + Cz + D=0 där D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Detta uttryck kallas den allmänna ekvationen för planet. Det är viktigt att komma ihåg att koefficienterna framför x, y och z bildar koordinaterna för vektorn n¯(A; B; C) vinkelrätt mot planet. Det sammanfaller med det normala och är en guide för planet. För att bestämma den allmänna ekvationen spelar det ingen roll vart denna vektor är riktad. Det vill säga, planen byggda på vektorerna n¯ och -n¯ kommer att vara desamma.

Figuren ovan visar ett plan, en vektor som är normal till det och en linje vinkelrät mot planet.

Segment avskurna av planet på axlarna och motsvarande ekvation

Den allmänna ekvationen gör det möjligt att använda enkla matematiska operationer för att bestämma, ivid vilka punkter kommer planet att skära koordinataxlarna. Det är viktigt att känna till denna information för att få en uppfattning om planets position i rymden, samt när det avbildas på ritningarna.

För att bestämma de namngivna skärningspunkterna används en ekvation i segment. Det kallas så eftersom det uttryckligen innehåller värdena för längderna på segmenten avskurna av planet på koordinataxlarna, när man räknar från punkten (0; 0; 0). Låt oss ta den här ekvationen.

Skriv det allmänna uttrycket för planet enligt följande:

Ax + By + Cz=-D

De vänstra och högra delarna kan delas med -D utan att bryta mot jämställdheten. Vi har:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 eller

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Designa nämnare för varje term med en ny symbol, vi får:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C sedan

x/p + y/q + z/r=1

Detta är ekvationen som nämns ovan i segment. Det följer av det att värdet på nämnaren för varje term indikerar koordinaten för skärningen med motsvarande axel i planet. Till exempel skär den y-axeln i punkten (0; q; 0). Detta är lätt att förstå om du ersätter noll-x- och z-koordinaterna i ekvationen.

Observera att om det inte finns någon variabel i ekvationen i segmenten betyder det att planet inte skär motsvarande axel. Till exempel, givet uttrycket:

x/p + y/q=1

Detta betyder att planet skär av segmenten p och q på x- respektive y-axeln, men det kommer att vara parallellt med z-axeln.

Slutsats om planets beteende närfrånvaron av någon variabel i hennes ekvation är också sant för ett allmänt typuttryck, som visas i figuren nedan.

Vektorparametrisk ekvation

Det finns en tredje sorts ekvation som gör det möjligt att beskriva ett plan i rymden. Den kallas en parametrisk vektor eftersom den ges av två vektorer som ligger i planet och två parametrar som kan ta godtyckliga oberoende värden. Låt oss visa hur denna ekvation kan erhållas.

Anta att det finns ett par kända vektorer u ¯(a₁; b₁; c₁) och v¯(a₂; b₂; c₂). Om de inte är parallella kan de användas för att ställa in ett specifikt plan genom att fixera början av en av dessa vektorer vid en känd punkt M(x₀; y₀; z_{0). Om en godtycklig vektor MP¯ kan representeras som en kombination av linjära vektorer u¯ och v¯, betyder detta att punkten P(x; y; z) tillhör samma plan som u¯, v¯. Således kan vi skriva likheten:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Eller om vi skriver denna likhet i termer av koordinater får vi:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(a ₂; b₂; c₂₎

Den presenterade likheten är en parametrisk vektorekvation för planet. PÅvektorutrymme på planet u¯ och v¯ kallas generatorer.

När du löser problemet kommer det att visas hur denna ekvation kan reduceras till en allmän form för ett plan.

Vinkel mellan plan i rymden

Intuitivt kan plan i 3D-rymden antingen skära varandra eller inte. I det första fallet är det av intresse att hitta vinkeln mellan dem. Beräkningen av denna vinkel är svårare än vinkeln mellan linjer, eftersom vi talar om ett dihedr alt geometriskt objekt. Den redan nämnda guidevektorn för planet kommer dock till undsättning.

Det är geometriskt fastställt att den dihedriska vinkeln mellan två skärande plan är exakt lika med vinkeln mellan deras styrvektorer. Låt oss beteckna dessa vektorer som n₁¯(a₁; b₁; c_{1) och n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Cosinus för vinkeln mellan dem bestäms från den skalära produkten. Det vill säga att själva vinkeln i utrymmet mellan planen kan beräknas med formeln:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Här används modulen i nämnaren för att ignorera värdet på den trubbiga vinkeln (mellan skärande plan är den alltid mindre än eller lika med 90o).

I koordinatform kan detta uttryck skrivas om enligt följande:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + b₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Plan vinkelräta och parallella

Om planen skär varandra och den dihedriska vinkeln som bildas av dem är 90o, kommer de att vara vinkelräta. Ett exempel på sådana plan är ett rektangulärt prisma eller en kub. Dessa figurer bildas av sex plan. Vid varje spets av de namngivna figurerna finns tre plan vinkelräta mot varandra.

För att ta reda på om de betraktade planen är vinkelräta räcker det med att beräkna skalärprodukten av deras normalvektorer. Ett tillräckligt villkor för vinkelräthet i utrymmet av plan är nollvärdet för denna produkt.

Parallell kallas icke-korsande plan. Ibland sägs det också att parallella plan skär varandra i oändligheten. Tillståndet för parallellitet i planens rymd sammanfaller med det villkoret för riktningsvektorerna n₁¯ och n_{2¯. Du kan kontrollera det på två sätt:}

Beräkna cosinus för den dihedriska vinkeln (cos(φ)) med den skalära produkten. Om planen är parallella blir värdet 1.

Försök att representera en vektor genom en annan genom att multiplicera med något tal, d.v.s. n₁¯=kn_{2¯. Om detta kan göras, så är motsvarande planparallell.}

Figuren visar två parallella plan.

Låt oss nu ge exempel på att lösa två intressanta problem med hjälp av den erhållna matematiska kunskapen.

Hur får man en allmän form från en vektorekvation?

Detta är ett parametriskt vektoruttryck för ett plan. För att göra det lättare att förstå flödet av operationer och de matematiska knep som används, överväg ett specifikt exempel:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Utöka detta uttryck och uttryck de okända parametrarna:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Då:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Om du öppnar parenteserna i det sista uttrycket får vi:

z=2x-2 + 3y - 6 eller

2x + 3y - z - 8=0

Vi har erhållit den allmänna formen av ekvationen för det plan som anges i problemformuleringen i vektorform

Hur bygger man ett plan genom tre punkter?

Det är möjligt att rita ett enda plan genom tre punkter om dessa punkter inte tillhör någon enstaka rät linje. Algoritmen för att lösa detta problem består av följande sekvens av åtgärder:

hitta koordinaterna för två vektorer genom att koppla ihop parvis kända punkter;
beräkna deras korsprodukt och få en vektor normal mot planet;
skriv den allmänna ekvationen med den hittade vektorn ochnågon av de tre punkterna.

Låt oss ta ett konkret exempel. Poäng ges: