Att döma av populariteten för begäran "Fermats teorem - ett kort bevis", är detta matematiska problem verkligen av intresse för många. Denna sats uttalades första gången av Pierre de Fermat 1637 på kanten av en kopia av Arithmetic, där han hävdade att han hade en lösning som var för stor för att passa på kanten.
Det första framgångsrika beviset publicerades 1995 - det var det fullständiga beviset på Fermats sats av Andrew Wiles. Det har beskrivits som "häpnadsväckande framsteg" och ledde till att Wiles fick Abelpriset 2016. Även om det beskrivits relativt kortfattat, bevisade beviset för Fermats teorem också mycket av modularitetsteoremet och öppnade för nya tillvägagångssätt för många andra problem och effektiva metoder för att lyfta modularitet. Dessa prestationer har avancerad matematik 100 år in i framtiden. Beviset för Fermats lilla sats idag är det inteär något utöver det vanliga.
Det olösta problemet stimulerade utvecklingen av algebraisk t alteori på 1800-talet och sökandet efter ett bevis för modularitetsteoremet på 1900-talet. Detta är en av de mest anmärkningsvärda satserna i matematikens historia, och fram till det fullständiga uppdelningsbeviset för Fermats sista sats stod det i Guinness rekordbok som "det svåraste matematiska problemet", ett av kännetecknen för detta är att den har det största antalet misslyckade bevis.
Historisk bakgrund
Pythagoreisk ekvation x2 + y2=z2 har ett oändligt antal positiva heltalslösningar för x, y och z. Dessa lösningar är kända som Pythagoras treenigheter. Omkring 1637 skrev Fermat på kanten av boken att den mer allmänna ekvationen a + b =char ingen lösningar i naturliga tal om n är ett heltal större än 2. Även om Fermat själv hävdade att han hade en lösning på sitt problem, lämnade han inga detaljer om dess bevis. Det elementära beviset för Fermats teorem, som dess skapare hävdade, var snarare hans skrytsamma uppfinning. Boken om den store franske matematikern upptäcktes 30 år efter hans död. Denna ekvation, kallad Fermats sista teorem, förblev olöst i matematiken i tre och ett halvt århundrade.
Satsen blev så småningom ett av de mest anmärkningsvärda olösta problemen i matematik. Försök att bevisa detta orsakade en betydande utveckling av t alteorin, och med passagengång blev Fermats sista sats känt som ett olöst problem i matematik.
En kort historia av bevis
Om n=4, vilket Fermat själv bevisat, räcker det att bevisa satsen för index n som är primtal. Under de följande två århundradena (1637-1839) bevisades gissningarna endast för primtal 3, 5 och 7, även om Sophie Germain uppdaterade och bevisade ett tillvägagångssätt som gällde hela klassen av primtal. I mitten av 1800-talet utökade Ernst Kummer detta och bevisade satsen för alla reguljära primtal, varvid oregelbundna primtal analyserades individuellt. Baserat på Kummers arbete och med hjälp av sofistikerad datorforskning kunde andra matematiker utöka lösningen av teoremet, med målet att täcka alla huvudexponenter upp till fyra miljoner, men beviset för alla exponenter var fortfarande inte tillgängligt (vilket betyder att matematiker vanligtvis anses lösningen av satsen omöjlig, extremt svår eller ouppnåelig med nuvarande kunskap).
Shimura och Taniyamas arbete
1955 misstänkte de japanska matematikerna Goro Shimura och Yutaka Taniyama att det fanns ett samband mellan elliptiska kurvor och modulära former, två väldigt olika grenar av matematiken. Känd på den tiden som Taniyama-Shimura-Weyl-förmodan och (i slutändan) som modularitetssatsen, existerade den på egen hand, utan någon uppenbar koppling till Fermats sista teorem. Det i sig ansågs allmänt som ett viktigt matematiskt teorem, men det ansågs (liksom Fermats teorem) omöjligt att bevisa. Vid denSamtidigt genomfördes beviset för Fermats sista sats (genom att dividera och tillämpa komplexa matematiska formler) bara ett halvt sekel senare.
1984 märkte Gerhard Frey ett uppenbart samband mellan dessa två tidigare orelaterade och olösta problem. En fullständig bekräftelse på att de två satserna var nära besläktade publicerades 1986 av Ken Ribet, som baserat på ett partiellt bevis av Jean-Pierre Serra, som bevisade alla delar utom en, känd som "epsilonhypotesen". Enkelt uttryckt visade dessa verk av Frey, Serra och Ribe att om modularitetssatsen kunde bevisas, åtminstone för en semistabel klass av elliptiska kurvor, så skulle beviset för Fermats sista sats förr eller senare också upptäckas. Vilken lösning som helst som kan motsäga Fermats sista teorem kan också användas för att motsäga modularitetssatsen. Därför, om modularitetssatsen visade sig vara sann, så kan det per definition inte finnas en lösning som motsäger Fermats sista sats, vilket betyder att den borde ha bevisats snart.
Även om båda satserna var svåra problem i matematik, ansågs olösliga, var de två japanernas arbete det första förslaget på hur Fermats sista sats kunde utökas och bevisas för alla tal, inte bara några. Viktigt för forskarna som valde studieämnet var det faktum att, i motsats till Fermats sista teorem, var modularitetssatsen det huvudsakliga aktiva forskningsområdet, för vilketbevis utvecklades, och inte bara historiska konstigheter, så den tid som spenderades på hennes arbete kunde motiveras ur en professionell synvinkel. Den allmänna konsensus var dock att det visade sig vara olämpligt att lösa Taniyama-Shimura-förmodan.
Farm's Last Theorem: Wiles' proof
Efter att ha lärt sig att Ribet hade bevisat Freys teori korrekt, bestämde sig den engelske matematikern Andrew Wiles, som har varit intresserad av Fermats sista sats sedan barndomen och har erfarenhet av att arbeta med elliptiska kurvor och angränsande domäner, att försöka bevisa Taniyama-Shimura Gissningar som ett sätt att bevisa Fermats sista teorem. 1993, sex år efter att han tillkännagav sitt mål, medan han i hemlighet arbetade med problemet med att lösa teoremet, lyckades Wiles bevisa en relaterad gissning, som i sin tur skulle hjälpa honom att bevisa Fermats sista teorem. Wiles dokument var enormt i storlek och omfattning.
En brist upptäcktes i en del av hans originaluppsats under peer review och krävde ytterligare ett års samarbete med Richard Taylor för att gemensamt lösa teoremet. Som ett resultat lät Wiles sista bevis på Fermats sista sats inte vänta på sig. 1995 publicerades den i mycket mindre skala än Wiles tidigare matematiska arbete, vilket illustrerar att han inte hade fel i sina tidigare slutsatser om möjligheten att bevisa teoremet. Wiles prestation fick stor publicitet i den populära pressen och populariserades i böcker och tv-program. De återstående delarna av Taniyama-Shimura-Weil-förmodan, som nu har bevisats ochkänd som modularitetsteoremet, bevisades senare av andra matematiker som byggde på Wiles arbete mellan 1996 och 2001. För sin prestation har Wiles hedrats och fått många utmärkelser, inklusive 2016 års Abelpris.
Wiles bevis för Fermats sista teorem är ett specialfall av att lösa modularitetssatsen för elliptiska kurvor. Detta är dock det mest kända fallet av en sådan storskalig matematisk operation. Tillsammans med att lösa Ribes sats fick den brittiske matematikern också ett bevis på Fermats sista sats. Fermats sista teorem och modularitetsteorem ansågs nästan allmänt obevisbara av moderna matematiker, men Andrew Wiles kunde bevisa för den vetenskapliga världen att även förståsigpåare kan ha fel.
Wyles tillkännagav först sin upptäckt onsdagen den 23 juni 1993 vid en föreläsning i Cambridge med titeln "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations". I september 1993 fann man dock att hans beräkningar innehöll ett fel. Ett år senare, den 19 september 1994, i vad han skulle kalla "det viktigaste ögonblicket i sitt arbetsliv", snubblade Wiles över en uppenbarelse som gjorde det möjligt för honom att fixa lösningen på problemet till den grad att den kunde tillfredsställa den matematiska community.
Arbetsbeskrivning
Proof of Fermat's Theorem av Andrew Wiles använder många metoder från algebraisk geometri och t alteori och har många förgreningar i dessaområden inom matematik. Han använder också standardkonstruktionerna för modern algebraisk geometri, såsom kategorin scheman och Iwasawa-teorin, såväl som andra metoder från 1900-talet som inte var tillgängliga för Pierre de Fermat.
De två artiklarna som innehåller bevisen är 129 sidor långa och skrevs under sju år. John Coates beskrev denna upptäckt som en av t alteorins största landvinningar, och John Conway kallade den 1900-talets största matematiska bedrift. Wiles, för att bevisa Fermats sista teorem genom att bevisa modularitetssatsen för det speciella fallet med semistabla elliptiska kurvor, utvecklade kraftfulla metoder för att lyfta modularitet och öppnade upp för nya tillvägagångssätt för många andra problem. För att ha löst Fermats sista teorem blev han adlad och fick andra utmärkelser. När det blev känt att Wiles hade vunnit Abelpriset beskrev Norska vetenskapsakademien hans prestation som "ett förtjusande och elementärt bevis på Fermats sista teorem."
Hur det var
En av personerna som granskade Wiles originalmanuskript med lösningen på satsen var Nick Katz. Under sin recension ställde han ett antal klargörande frågor till britten som fick Wiles att erkänna att hans arbete helt klart innehåller en lucka. I en kritisk del av beviset gjordes ett fel som gav en uppskattning av ordningen för en viss grupp: Euler-systemet som användes för att utöka Kolyvagin och Flach-metoden var ofullständigt. Misstaget gjorde dock inte hans arbete värdelöst - varje del av Wiles verk var mycket betydelsefullt och nyskapande i sig, liksom mångautvecklingar och metoder som han skapade under sitt arbete och som endast berörde en del av manuskriptet. Detta originalverk, publicerat 1993, hade dock inte riktigt bevis på Fermats sista sats.
Wyles tillbringade nästan ett år med att försöka återupptäcka en lösning på teoremet, först ensam och sedan i samarbete med sin tidigare elev Richard Taylor, men allt verkade vara förgäves. I slutet av 1993 hade rykten cirkulerat om att Wiles bevis hade misslyckats i testningen, men hur allvarligt det misslyckandet var var inte känt. Matematiker började sätta press på Wiles att avslöja detaljerna i hans arbete, oavsett om det gjordes eller inte, så att den bredare gemenskap av matematiker kunde utforska och använda vad han kunde uppnå. Istället för att snabbt rätta till sitt misstag upptäckte Wiles bara ytterligare svåra aspekter i beviset på Fermats sista sats och insåg till slut hur svårt det var.
Wyles uppger att han på morgonen den 19 september 1994 var på gränsen till att ge upp och ge upp, och var nästan uppgiven att misslyckas. Han var redo att publicera sitt ofullbordade verk så att andra kunde bygga vidare på det och hitta var han hade fel. Den engelske matematikern bestämde sig för att ge sig själv en sista chans och analyserade satsen för sista gången för att försöka förstå huvudorsakerna till att hans tillvägagångssätt inte fungerade, när han plötsligt insåg att Kolyvagin-Flac-metoden inte skulle fungera förrän hankommer också att inkludera Iwasawas teori i bevisprocessen, så att den fungerar.
Den 6 oktober bad Wiles tre kollegor (inklusive F altins) att granska hans nya verk, och den 24 oktober 1994 skickade han in två manuskript - "Modular elliptic curves and Fermat's last theorem" och "Theoretical properties of the ring of some Hecke algebras", vars andra Wiles skrev tillsammans med Taylor och bevisade att vissa villkor var uppfyllda för att motivera det korrigerade steget i huvudartikeln.
Dessa två artiklar granskades och publicerades slutligen som en fulltextutgåva i maj 1995 Annals of Mathematics. Andrews nya beräkningar analyserades brett och accepterades så småningom av det vetenskapliga samfundet. I dessa uppsatser fastställdes modularitetssatsen för semistabla elliptiska kurvor - det sista steget mot att bevisa Fermats sista sats, 358 år efter att den skapades.
Historien om det stora problemet
Att lösa detta teorem har ansetts vara det största problemet inom matematik i många århundraden. 1816 och 1850 erbjöd den franska vetenskapsakademin ett pris för ett allmänt bevis på Fermats sista sats. År 1857 tilldelade Akademien 3 000 franc och en guldmedalj till Kummer för hans forskning om ide altal, även om han inte ansökte om priset. Ytterligare ett pris erbjöds honom 1883 av Brysselakademin.
Wolfskell Prize
År 1908 testamenterade den tyske industrimannen och amatörmatematikern Paul Wolfskel 100 000 guldmark (en stor summa för den tiden)Vetenskapsakademien i Göttingen, så att dessa pengar blir ett pris för det fullständiga beviset på Fermats sista sats. Den 27 juni 1908 publicerade Akademien nio prisregler. Dessa regler krävde bland annat att beviset skulle publiceras i en peer-reviewed tidskrift. Priset skulle delas ut endast två år efter publiceringen. Tävlingen skulle löpa ut den 13 september 2007 – ungefär ett sekel efter att den började. Den 27 juni 1997 fick Wiles Wolfschels prispengar och sedan ytterligare 50 000 $. I mars 2016 fick han 600 000 euro från den norska regeringen som en del av Abelpriset för "ett fantastiskt bevis på Fermats sista teorem med hjälp av modularitetsförmodan för semistabla elliptiska kurvor, vilket öppnar en ny era inom t alteorin." Det var den ödmjuke engelsmannens världsseger.
Före Wiles bevis ansågs Fermats teorem, som tidigare nämnts, vara absolut olöslig i århundraden. Tusentals felaktiga bevis vid olika tillfällen presenterades för Wolfskell-kommittén, vilket uppgick till cirka 10 fot (3 meter) av korrespondens. Först under det första året av prisets existens (1907-1908) skickades 621 ansökningar in som gjorde anspråk på att lösa teoremet, även om antalet på 1970-talet hade minskat till cirka 3-4 ansökningar per månad. Enligt F. Schlichting, Wolfschels granskare, baserades det mesta av bevisen på elementära metoder som lärs ut i skolor och presenterades ofta som "människor med teknisk bakgrund men misslyckade karriärer". Enligt matematikhistorikern Howard Aves, den sistaFermats sats har satt ett slags rekord - det här är satsen med det största antalet felaktiga bevis.
Farmens lagrar gick till japanerna
Som tidigare nämnts, runt 1955, upptäckte de japanska matematikerna Goro Shimura och Yutaka Taniyama en möjlig koppling mellan två uppenbarligen helt olika grenar av matematiken - elliptiska kurvor och modulära former. Den resulterande modularitetssatsen (då känd som Taniyama-Shimura-förmodan) säger att varje elliptisk kurva är modulär, vilket betyder att den kan associeras med en unik modulär form.
Teorin avfärdades från början som osannolik eller mycket spekulativ, men togs på större allvar när t alteoretikern André Weil hittade bevis för att stödja de japanska slutsatserna. Som ett resultat har hypotesen ofta kallats Taniyama-Shimura-Weil-hypotesen. Hon blev en del av Langlands-programmet, som är en lista över viktiga hypoteser som måste bevisas i framtiden.
Även efter allvarlig granskning har gissningarna erkänts av moderna matematiker som extremt svåra, eller kanske otillgängliga för bevis. Nu väntar just det här teorem på sin Andrew Wiles, som kan överraska hela världen med sin lösning.
Fermats sats: Perelmans bevis
Trots den populära myten har den ryske matematikern Grigory Perelman, trots allt sitt geni, ingenting att göra med Fermats teorem. Vilket dock inte på något sätt förtar det.många bidrag till det vetenskapliga samfundet.
