Polyhedra uppmärksammades av matematiker och vetenskapsmän även i antiken. Egyptierna byggde pyramiderna. Och grekerna studerade "vanliga polyedrar". De kallas ibland platonska fasta ämnen. "Traditionella polyedrar" består av plana ytor, raka kanter och hörn. Men huvudfrågan har alltid varit vilka regler dessa separata delar måste uppfylla, samt vilka ytterligare globala villkor som måste uppfyllas för att ett objekt ska kvalificera sig som en polyeder. Svaret på denna fråga kommer att presenteras i artikeln.
Problem in definition
Vad består den här figuren av? En polyeder är en sluten solid form som har plana ytor och raka kanter. Därför kan det första problemet med dess definition kallas exakt sidorna av figuren. Alla ansikten som ligger i plan är inte alltid ett tecken på en polyeder. Låt oss ta den "triangulära cylindern" som ett exempel. Vad består den av? Del av dess yta tre i parkorsande vertikala plan kan inte betraktas som polygoner. Anledningen är att den inte har några hörn. Ytan på en sådan figur bildas på basis av tre strålar som möts vid en punkt.
Ett problem till - flygplan. I fallet med den "triangulära cylindern" ligger den i deras obegränsade delar. En figur anses vara konvex om linjesegmentet som förbinder två punkter i uppsättningen också finns i det. Låt oss presentera en av deras viktiga egenskaper. För konvexa uppsättningar är det att uppsättningen punkter som är gemensamma för uppsättningen är densamma. Det finns en annan sorts figurer. Dessa är icke-konvexa 2D-polyedrar som antingen har skåror eller hål.
Former som inte är polyedrar
En platt uppsättning punkter kan vara olika (till exempel icke-konvexa) och inte uppfylla den vanliga definitionen av en polyeder. Även genom den är den begränsad av sektioner av linjer. Linjerna i en konvex polyeder består av konvexa figurer. Detta förhållningssätt till definitionen utesluter dock en siffra som går till oändligheten. Ett exempel på detta skulle vara tre strålar som inte möts vid samma punkt. Men samtidigt är de kopplade till hörnen på en annan figur. Traditionellt sett var det viktigt för en polyeder att den består av plana ytor. Men med tiden expanderade konceptet, vilket ledde till en betydande förbättring av förståelsen av den ursprungliga "smalare" klassen av polyedrar, samt uppkomsten av en ny, bredare definition.
Correct
Låt oss introducera ytterligare en definition. En vanlig polyeder är en där varje ansikte är en kongruent regelbundenkonvexa polygoner, och alla hörn är "samma". Det betyder att varje vertex har samma antal reguljära polygoner. Använd denna definition. Så du kan hitta fem vanliga polyedrar.
Första stegen till Eulers sats för polyedrar
Grekerna kände till polygonen, som idag kallas pentagrammet. Denna polygon kan kallas regelbunden eftersom alla dess sidor är lika långa. Det finns också en annan viktig anmärkning. Vinkeln mellan två på varandra följande sidor är alltid densamma. Men när den ritas i ett plan, definierar den inte en konvex uppsättning, och sidorna av polyedern skär varandra. Detta var dock inte alltid fallet. Matematiker har länge övervägt idén om "icke-konvexa" vanliga polyedrar. Pentagrammet var en av dem. "Stjärnpolygoner" var också tillåtna. Flera nya exempel på "vanliga polyedrar" har upptäckts. Nu kallas de för Kepler-Poinsot polyedrar. Senare utökade G. S. M. Coxeter och Branko Grünbaum reglerna och upptäckte andra "vanliga polyedrar".
polyedrisk formel
Det systematiska studiet av dessa siffror började relativt tidigt i matematikens historia. Leonhard Euler var den första att lägga märke till att en formel som relaterar antalet hörn, ytor och kanter gäller för konvexa 3D-polyedrar.
Hon ser ut så här:
V + F - E=2, där V är antalet polyedriska hörn, F är antalet kanter på polyedrarna och E är antalet ytor.
Leonhard Euler är schweiziskmatematiker som anses vara en av de största och mest produktiva vetenskapsmännen genom tiderna. Han har varit blind under större delen av sitt liv, men förlusten av synen gav honom en anledning att bli ännu mer produktiv. Det finns flera formler uppkallade efter honom, och den vi just tittade på kallas ibland Eulers polyedrformel.
Det finns ett förtydligande. Eulers formel fungerar dock bara för polyedrar som följer vissa regler. De ligger i att formen inte ska ha några hål. Och det är oacceptabelt att den korsar sig. En polyeder kan inte heller bestå av två delar som är sammanfogade, till exempel två kuber med samma vertex. Euler nämnde resultatet av sin forskning i ett brev till Christian Goldbach 1750. Senare publicerade han två artiklar där han beskrev hur han försökte hitta bevis för sin nya upptäckt. Faktum är att det finns former som ger ett annat svar på V + F - E. Svaret på summan F + V - E=X kallas Euler-karaktäristiken. Hon har en annan aspekt. Vissa former kan till och med ha en Euler-egenskap som är negativ
Graph Theory
Ibland hävdas det att Descartes härledde Eulers teorem tidigare. Även om denna vetenskapsman upptäckte fakta om tredimensionella polyedrar som skulle göra det möjligt för honom att härleda den önskade formeln, tog han inte detta ytterligare steg. Idag krediteras Euler med grafteorins "fader". Han löste problemet med Königsbergsbron med hjälp av sina idéer. Men vetenskapsmannen tittade inte på polyedern i sitt sammanhanggrafteori. Euler försökte ge ett bevis på en formel baserad på sönderdelningen av en polyeder i enklare delar. Detta försök uppfyller inte moderna standarder för bevis. Även om Euler inte gav den första korrekta motiveringen för sin formel, kan man inte bevisa gissningar som inte har gjorts. Resultaten, som underbyggdes senare, gör det dock möjligt att använda Eulers sats även för närvarande. Det första beviset erhölls av matematikern Adrian Marie Legendre.
Bevis på Eulers formel
Euler formulerade först den polyedriska formeln som ett teorem om polyedrar. Idag behandlas det ofta i det mer allmänna sammanhanget av sammankopplade grafer. Till exempel som strukturer som består av punkter och linjesegment som förbinder dem, som är i samma del. Augustin Louis Cauchy var den första personen som hittade denna viktiga koppling. Det fungerade som ett bevis på Eulers teorem. Han märkte i huvudsak att grafen för en konvex polyeder (eller vad som idag kallas sådan) är topologiskt homeomorf till en sfär, har en plan sammankopplad graf. Vad det är? En plan graf är en som har ritats i planet på ett sådant sätt att dess kanter möts eller skär varandra endast vid en vertex. Det var här kopplingen mellan Eulers teorem och grafer hittades.
En indikation på vikten av resultatet är att David Epstein kunde samla in sjutton olika bevis. Det finns många sätt att motivera Eulers polyedriska formel. På sätt och vis är de mest uppenbara bevisen metoder som använder matematisk induktion. Resultatet kan bevisasrita den längs antalet antingen kanter, ytor eller hörn på grafen.
Bevis på Rademacher och Toeplitz
Särskilt attraktivt är följande bevis från Rademacher och Toeplitz, baserat på Von Staudts tillvägagångssätt. För att motivera Eulers teorem, anta att G är en sammankopplad graf inbäddad i ett plan. Om den har scheman är det möjligt att utesluta en kant från var och en av dem på ett sådant sätt att egenskapen bevaras att den förblir ansluten. Det finns en en-till-en-överensstämmelse mellan de borttagna delarna för att gå till den anslutna grafen utan stängning och de som inte är en oändlig kant. Denna forskning ledde till klassificeringen av "orienterbara ytor" i termer av den så kallade Euler-egenskapen.
Jordan-kurva. Teorem
Huvuduppsatsen, som direkt eller indirekt används i beviset för polyedrformeln i Eulersatsen för grafer, beror på Jordan-kurvan. Denna idé är relaterad till generalisering. Det står att varje enkel sluten kurva delar planet i tre uppsättningar: punkter på det, inuti och utanför det. När intresset för Eulers polyedriska formel utvecklades under artonhundratalet, gjordes många försök att generalisera den. Denna forskning lade grunden för utvecklingen av algebraisk topologi och kopplade den till algebra och t alteori.
Moebius group
Det upptäcktes snart att vissa ytor bara kunde "orienteras" på ett konsekvent sätt lok alt, inte glob alt. Den välkända Möbiusgruppen tjänar som en illustration av sådanaytor. Det upptäcktes något tidigare av Johann Listing. Detta koncept inkluderar begreppet släktet för en graf: det minsta antalet deskriptorer g. Det måste läggas till sfärens yta, och det kan bäddas in på den förlängda ytan på ett sådant sätt att kanterna bara möts vid hörnen. Det visar sig att vilken orienterbar yta som helst i det euklidiska rymden kan betraktas som en sfär med ett visst antal handtag.
Euler-diagram
Forskaren gjorde en annan upptäckt, som fortfarande används idag. Detta så kallade Euler-diagram är en grafisk representation av cirklar, som vanligtvis används för att illustrera samband mellan mängder eller grupper. Diagrammen innehåller vanligtvis färger som smälter in i områden där cirklarna överlappar varandra. Uppsättningar representeras exakt av cirklar eller ovaler, även om andra figurer också kan användas för dem. En inneslutning representeras av en överlappning av ellipser som kallas Eulercirklar.
De representerar mängder och delmängder. Undantaget är icke-överlappande cirklar. Euler-diagram är nära besläktade med annan grafisk representation. De är ofta förvirrade. Denna grafiska representation kallas Venn-diagram. Beroende på uppsättningarna i fråga kan båda versionerna se likadana ut. Men i Venn-diagram indikerar överlappande cirklar inte nödvändigtvis gemensamhet mellan mängder, utan endast ett möjligt logiskt samband om deras etiketter inte är iskärande cirkel. Båda alternativen användes för undervisning i mängdlära som en del av den nya matematiska rörelsen på 1960-talet.
Fermat och Eulers satser
Euler lämnade ett märkbart spår i matematisk vetenskap. Den algebraiska t alteorin berikades med en sats uppkallad efter honom. Det är också en konsekvens av en annan viktig upptäckt. Detta är den så kallade allmänna algebraiska Lagrangesatsen. Eulers namn är också förknippat med Fermats lilla teorem. Det står att om p är ett primtal och a är ett heltal som inte är delbart med p, då:
ap-1 - 1 är delbart med p.
Ibland har samma upptäckt ett annat namn, som oftast finns i utländsk litteratur. Det låter som Fermats julsats. Saken är den att upptäckten blev känd tack vare ett brev från en vetenskapsman som skickades på kvällen den 25 december 1640. Men själva uttalandet har man stött på tidigare. Den användes av en annan forskare vid namn Albert Girard. Fermat försökte bara bevisa sin teori. Författaren antyder i ett annat brev att han var inspirerad av metoden med oändlig härkomst. Men han lämnade inga bevis. Senare övergick även Eider till samma metod. Och efter honom - många andra kända vetenskapsmän, inklusive Lagrange, Gauss och Minkosky.
Funktioner av identiteter
Fermats lilla sats kallas också för ett specialfall av en sats från t alteorin på grund av Euler. I denna teori räknar Euler-identitetsfunktionen positiva heltal upp till ett givet heltal n. De är coprime med avseende pån. Eulers sats i t alteorin är skriven med den grekiska bokstaven φ och ser ut som φ(n). Det kan mer formellt definieras som antalet heltal k i området 1 ≦ k ≦ n för vilka den största gemensamma divisorn gcd(n, k) är 1. Notation φ(n) kan också kallas Eulers phi-funktion. Heltal k av denna form kallas ibland för total. I hjärtat av t alteorin är Eulers identitetsfunktion multiplikativ, vilket betyder att om två tal m och n är coprima, så är φ(mn)=φ(m)φ(n). Det spelar också en nyckelroll för att definiera RSA-krypteringssystemet.
Euler-funktionen introducerades 1763. Men vid den tiden valde matematikern ingen specifik symbol för den. I en publikation från 1784 studerade Euler denna funktion mer i detalj och valde den grekiska bokstaven π för att representera den. James Sylvester myntade termen "total" för denna funktion. Därför kallas det också för Eulers totala. Den totala φ(n) för ett positivt heltal n större än 1 är antalet positiva heltal mindre än n som är relativt primtal upp till n.φ(1) definieras som 1. Euler-funktionen eller phi(φ)-funktionen är en mycket viktig t alteoretik, en funktion som är djupt relaterad till primtal och den så kallade heltalsordningen.
