Polyedrar intar inte bara en framträdande plats i geometrin, utan förekommer också i varje persons dagliga liv. För att inte tala om artificiellt skapade hushållsartiklar i form av olika polygoner, som börjar med en tändsticksask och slutar med arkitektoniska element, kristaller i form av en kub (s alt), prisma (kristall), pyramid (scheelit), oktaeder (diamant), etc. e.
Begreppet en polyeder, typer av polyedrar i geometri
Geometri som vetenskap innehåller ett avsnitt av stereometri som studerar egenskaper och egenskaper hos tredimensionella figurer. Geometriska kroppar, vars sidor i det tredimensionella rummet bildas av begränsade plan (ansikten), kallas "polyedrar". Typer av polyedrar inkluderar mer än ett dussin representanter, som skiljer sig åt i antal och form på ansikten.
Men alla polyedrar har gemensamma egenskaper:
- De har alla tre viktiga komponenter: ansikte(yta av en polygon), vertex (hörn som bildas vid föreningspunkten mellan ytor), kant (sidan av en figur eller ett segment bildat vid förbindelsen mellan två ytor).
- Varje polygonkant förbinder två och endast två ytor som ligger intill varandra.
- Konvexitet innebär att kroppen är helt placerad endast på ena sidan av det plan som ett av ansiktena ligger på. Regeln gäller för alla ytor av polyhedron. Sådana geometriska figurer i stereometri kallas konvexa polyedrar. Undantaget är stjärnformade polyedrar, som är derivat av vanliga polyedriska geometriska fasta ämnen.
Polyhedra kan villkorligt delas in i:
- Typer av konvexa polyedrar, som består av följande klasser: vanliga eller klassiska (prisma, pyramid, parallellepiped), regelbundna (även kallade platoniska fasta kroppar), semi-reguljära (andra namn - arkimedeiska fasta ämnen).
- Icke-konvexa polyedrar (stjärnformade).
Prism och dess egenskaper
Stereometri som en gren av geometri studerar egenskaperna hos tredimensionella figurer, typer av polyedrar (ett prisma är ett av dem). Ett prisma är en geometrisk kropp som nödvändigtvis har två helt identiska ytor (de kallas också baser) som ligger i parallella plan, och det n:te antalet sidoytor i form av parallellogram. I sin tur har prismat också flera varianter, inklusive sådana typer av polyedrar som:
- Parallelepipedum - bildas om basen är ett parallellogram -polygon med 2 par lika motsatta vinklar och 2 par kongruenta motsatta sidor.
- Ett rakt prisma har kanter vinkelräta mot basen.
- Tilt prisma kännetecknas av förekomsten av icke-räta vinklar (andra än 90) mellan ytorna och basen.
- Ett regelbundet prisma kännetecknas av baser i form av en vanlig polygon med lika sidoytor.
Grundläggande egenskaper för ett prisma:
- Kongruenta baser.
- Alla kanter på prismat är lika och parallella med varandra.
- Alla sidoytor är parallellogramformade.
Pyramid
Pyramid är en geometrisk kropp, som består av en bas och n:te antal triangulära ytor, sammankopplade vid en punkt - toppen. Det bör noteras att om pyramidens sidoytor nödvändigtvis representeras av trianglar, så kan basen vara antingen en triangulär polygon, eller en fyrkant eller en femhörning, och så vidare i oändlighet. I det här fallet kommer namnet på pyramiden att motsvara polygonen vid basen. Till exempel, om en triangel ligger vid basen av en pyramid, är det en triangulär pyramid, en fyrhörning är en fyrkantig, etc.
Pyramider är konliknande polyedrar. Typerna av polyedrar i denna grupp, förutom de som anges ovan, inkluderar även följande representanter:
- En vanlig pyramid har en vanlig polygon vid basen och dess höjd projiceras mot mittenen cirkel inskriven i basen eller omskriven runt den.
- En rektangulär pyramid bildas när en av sidokanterna korsar basen i rät vinkel. I det här fallet är det också rimligt att kalla denna kant för höjden på pyramiden.
Pyramidegenskaper:
- Om alla sidokanter av pyramiden är kongruenta (med samma höjd), så skär de alla med basen i samma vinkel, och runt basen kan du rita en cirkel med ett centrum som sammanfaller med projektionen av toppen av pyramiden.
- Om basen av pyramiden är en vanlig polygon, är alla sidokanter kongruenta, och ytorna är likbenta trianglar.
Regular polyeder: typer och egenskaper hos polyedrar
I stereometri upptas en speciell plats av geometriska kroppar med absolut lika stora ytor, vid vars hörn samma antal kanter är sammankopplade. Dessa fasta ämnen kallas platoniska fasta ämnen, eller vanliga polyedrar. Typer av polyedrar med sådana egenskaper har bara fem former:
- Tetrahedron.
- Hexahedron.
- Octahedron.
- Dodecahedron.
- Icosahedron.
Vanliga polyedrar har sitt namn till den antika grekiske filosofen Platon, som beskrev dessa geometriska kroppar i sina skrifter och kopplade dem till de naturliga elementen: jord, vatten, eld, luft. Den femte figuren belönades med likheten med universums struktur. Enligt hans åsikt liknar atomerna av naturliga element i form typerna av vanliga polyedrar. På grund av sin mest spännande fastighet -symmetri var dessa geometriska kroppar av stort intresse inte bara för forntida matematiker och filosofer, utan också för arkitekter, konstnärer och skulptörer genom alla tider. Närvaron av endast 5 typer av polyedrar med absolut symmetri ansågs vara en grundläggande upptäckt, de tilldelades till och med en koppling till den gudomliga principen.
Hexahedron och dess egenskaper
I form av en hexagon antog Platons efterföljare en likhet med strukturen hos jordens atomer. Naturligtvis är denna hypotes för närvarande helt vederlagd, vilket dock inte hindrar figurerna från att locka kända figurers sinnen med sin estetik i modern tid.
Inom geometrin anses en hexaeder, även känd som en kub, som ett specialfall av en parallellepiped, som i sin tur är ett slags prisma. Följaktligen är egenskaperna hos kuben relaterade till egenskaperna hos prismat, med den enda skillnaden att alla ytor och hörn av kuben är lika med varandra. Följande egenskaper följer av detta:
- Alla kanter på kuben är kongruenta och ligger i parallella plan i förhållande till varandra.
- Alla ytor är kongruenta rutor (det finns 6 tot alt i en kub), vilka som helst kan tas som bas.
- Alla gränssnittsvinklar är 90.
- Ett lika antal kanter utgår från varje vertex, nämligen 3.
- Kuben har 9 symmetriaxlar, som alla skär i skärningspunkten för hexaederns diagonaler, kallad symmetricentrum.
Tetrahedron
En tetraeder är en tetraeder med lika stora ytor i form av trianglar, vars hörnär korsningspunkten för tre ansikten.
Egenskaper hos vanlig tetraeder:
- Alla ytor på en tetraeder är liksidiga trianglar, vilket betyder att alla ytor på en tetraeder är kongruenta.
- Eftersom basen representeras av en regelbunden geometrisk figur, det vill säga den har lika sidor, konvergerar tetraederns ytor i samma vinkel, det vill säga alla vinklar är lika.
- Summan av platta vinklar vid var och en av hörnen är 180, eftersom alla vinklar är lika, då är vilken vinkel som helst av en vanlig tetraeder 60.
- Var och en av hörnen projiceras till skärningspunkten för höjderna på den motsatta (ortocenter) ytan.
Oktaedern och dess egenskaper
När man beskriver typerna av vanliga polyedrar, kan man inte undgå att notera ett sådant föremål som en oktaeder, som visuellt kan representeras som två fyrkantiga regelbundna pyramider limmade samman av baser.
Properties of the octahedron:
- Själva namnet på en geometrisk kropp antyder antalet ansikten. Oktaedern består av 8 kongruenta liksidiga trianglar, i var och en av de hörn av vilka ett lika antal ytor konvergerar, nämligen 4.
- Eftersom alla ytor på en oktaeder är lika, är dess gränssnittsvinklar också lika, som var och en är lika med 60, och summan av planvinklarna för någon av hörnen är alltså 240.
Dodecahedron
Om vi föreställer oss att alla ansikten på en geometrisk kropp är en vanlig femhörning, då får vi en dodekaeder -en figur med 12 polygoner.
Dodecahedrons egenskaper:
- Tre ansikten skär varandra vid varje vertex.
- Alla ytor är lika och har samma kantlängd och lika stor yta.
- Dodekaedern har 15 axlar och symmetriplan, och vilken som helst av dem passerar genom spetsen på ansiktet och mitten av den motsatta kanten.
Icosahedron
Icke mindre intressant än dodekaedern, figuren av icosahedron är en tredimensionell geometrisk kropp med 20 lika stora ytor. Bland egenskaperna hos en vanlig tjugohedron kan följande noteras:
- Alla ansikten på icosahedron är likbenta trianglar.
- Fem ytor konvergerar vid varje hörn av polyedern, och summan av de intilliggande vinklarna på hörnet är 300.
- Icosaedern, liksom dodekaedern, har 15 axlar och symmetriplan som passerar genom mittpunkterna på motsatta ytor.
Halvregelbundna polygoner
Förutom platoniska fasta kroppar inkluderar gruppen konvexa polyedrar även arkimedeiska fasta ämnen, som är trunkerade vanliga polyedrar. Typerna av polyedrar i denna grupp har följande egenskaper:
- Geometriska kroppar har parvis lika ytor av flera typer, till exempel har en trunkerad tetraeder 8 ytor, som en vanlig tetraeder, men i fallet med en arkimedisk solid kommer 4 ytor att vara triangulära och 4 kommer att vara hexagonala.
- Alla vinklar på en vertex är kongruenta.
Stjärnpolyeder
Representanter för icke-volumetriska typer av geometriska kroppar är stellerade polyedrar vars ansikten skär varandra. De kan formas genom att slå samman två vanliga 3D-kroppar eller genom att förlänga deras ytor.
Sådan är sådana stjärnformade polyedrar kända som: stjärnformade former av oktaedern, dodekaedern, icosaedern, cuboctahedronen, icosododecahedronen.
