Leonhard Euler (1707-1783) - berömd schweizisk och rysk matematiker, medlem av St. Petersburgs vetenskapsakademi, bodde större delen av sitt liv i Ryssland. Den mest kända inom matematisk analys, statistik, datavetenskap och logik är Eulercirkeln (Euler-Venn-diagram), som används för att beteckna omfattningen av begrepp och uppsättningar av element.
John Venn (1834-1923) - engelsk filosof och logiker, medförfattare till Euler-Venn-diagrammet.
Kompatibla och inkompatibla koncept
Under begreppet logik betyder en form av tänkande som återspeglar de väsentliga egenskaperna hos en klass av homogena objekt. De betecknas med ett eller en grupp av ord: "världskarta", "dominant kvint-sjunde ackord", "måndag" etc.
I det fall då elementen i ett begrepps omfattning helt eller delvis hör till ett annat, talar man om kompatibla begrepp. Om däremot ingen del av ett visst begrepps räckvidd hör till ett annat, har vi oförenliga begrepp.
I sin tur har varje typ av koncept sin egen uppsättning möjliga samband. För kompatibla koncept är dessa:
- identitet (ekvivalens) av volymer;
- crossing (delvis match)volymer;
- underordning (underordning).
För inkompatibel:
- underordning (samordning);
- motsatta (kontraalitet);
- motsägelse (motsägelse).
Skematiskt betecknas relationer mellan begrepp i logik vanligtvis med Euler-Venn-cirklar.
Ekvivalenta relationer
I det här fallet betyder begreppen samma ämne. Följaktligen är volymerna för dessa koncept helt desamma. Till exempel:
A - Sigmund Freud;
B är grundaren av psykoanalys.
Eller:
A är en kvadrat;
B är en liksidig rektangel;
C är en likkantig romb.
Fullständigt sammanfallande Euler-cirklar används för beteckning.
Korsning (delvis match)
Denna kategori innehåller begrepp som har gemensamma element som är i relation till korsning. Det vill säga volymen för ett av begreppen ingår delvis i volymen för det andra:
A - lärare;
B är en musikälskare.
Som framgår av detta exempel sammanfaller begreppsvolymerna delvis: en viss grupp lärare kan visa sig vara musikälskare, och vice versa - det kan finnas representanter för läraryrket bland musikälskare. En liknande attityd kommer att vara i fallet när koncept A till exempel är en "medborgare" och B är en "förare".
Underordning (underordning)
Betecknas schematiskt som Eulercirklar i olika skalor. Relationermellan begrepp i detta fall kännetecknas av att det underordnade begreppet (mindre i volym) helt ingår i det underordnade (större i volym). Samtidigt tömmer det underordnade konceptet inte helt ut det underordnade.
Till exempel:
A - träd;
B - tall.
Koncept B kommer att vara underordnat koncept A. Eftersom tall tillhör träd, blir koncept A i detta exempel underordnat, och "absorberar" omfattningen av koncept B.
Coordination (coordination)
Relation kännetecknar två eller flera begrepp som utesluter varandra, men som tillhör en viss gemensam generisk krets. Till exempel:
A – klarinett;
B - gitarr;
C - fiol;
D är ett musikinstrument.
Begreppen A, B, C skär sig inte i förhållande till varandra, men de tillhör alla kategorin musikinstrument (begreppet D).
Motsats (motsats)
Motsatta relationer mellan begrepp antyder att dessa begrepp tillhör samma släkte. Samtidigt har ett av begreppen vissa egenskaper (särdrag), medan det andra förnekar dem och ersätter dem med motsatta i naturen. Vi har alltså att göra med antonymer. Till exempel:
A är en dvärg;
B är en jätte.
Eulercirkel med motsatta relationer mellan begreppär uppdelad i tre segment, av vilka det första motsvarar koncept A, det andra mot koncept B och det tredje till alla andra möjliga koncept.
Contradiction (contradiction)
I det här fallet är båda begreppen arter av samma släkte. Som i föregående exempel indikerar ett av begreppen vissa egenskaper (egenskaper), medan det andra förnekar dem. Men i motsats till förhållandet mellan motsatser ersätter inte det andra, motsatta begreppet de förnekade egenskaperna med andra, alternativa. Till exempel:
A är en svår uppgift;
B är en enkel uppgift (inte-A).
För att uttrycka volymen av begrepp av detta slag är Eulercirkeln uppdelad i två delar - den tredje, mellanliggande länken i detta fall existerar inte. Begreppen är alltså också antonymer. Samtidigt blir en av dem (A) positiv (bekräftar en funktion), och den andra (B eller icke-A) blir negativ (förnekar motsvarande funktion): "vitt papper" - "inte vitt papper", " nationell historia” –”utländsk historia”, etc.
Således är förhållandet mellan begreppens volymer i förhållande till varandra en nyckelegenskap som definierar Euler-cirklar.
Relationer mellan set
Det är också nödvändigt att skilja mellan begreppen element och mängder, vars volym visas av Euler-cirklar. Begreppet en uppsättning är lånat från matematisk vetenskap och har en ganska vid betydelse. Exempel inom logik och matematik visar det som en viss uppsättning objekt. Själva föremålen ärdelar av denna uppsättning. "Många är många tänkta som en" (Georg Kantor, grundare av mängdlära).
Mängder betecknas med versaler: A, B, C, D… etc., element i mängder betecknas med små bokstäver: a, b, c, d… etc. Exempel på en uppsättning kan vara elever som finns i ett klassrum, böcker på en viss hylla (eller t.ex. alla böcker på ett visst bibliotek), sidor i en dagbok, bär i en skogsglänta etc.
I sin tur, om en viss mängd inte innehåller ett enda element, kallas den tom och betecknas med tecknet Ø. Till exempel, uppsättningen skärningspunkter för parallella linjer, uppsättningen lösningar till ekvationen x2=-5.
Problemlösning
Euler-cirklar används aktivt för att lösa ett stort antal problem. Exempel inom logik visar tydligt sambandet mellan logiska operationer och mängdlära. I detta fall används sanningstabeller med begrepp. Till exempel representerar cirkeln märkt A sanningsområdet. Så området utanför cirkeln kommer att representera falskt. För att bestämma arean av diagrammet för en logisk operation bör du skugga områdena som definierar Euler-cirkeln, där dess värden för elementen A och B kommer att vara sanna.
Användningen av Euler-cirklar har fått bred praktisk tillämpning i olika branscher. Till exempel i en situation med ett professionellt val. Om försökspersonen är oroad över valet av ett framtida yrke kan han vägledas av följande kriterier:
W – vad gillar jag att göra?
D – vad gör jag?
P– hur kan jag tjäna bra pengar?
Låt oss rita detta som ett diagram: Eulercirklar (exempel i logik - skärningsrelation):
Resultatet kommer att bli de yrken som kommer att vara i skärningspunkten mellan alla tre cirklarna.
Euler-Venns cirklar intar en separat plats i matematik (mängdlära) vid beräkning av kombinationer och egenskaper. Eulercirklarna för uppsättningen av element är inneslutna i bilden av en rektangel som betecknar den universella uppsättningen (U). Istället för cirklar kan även andra slutna figurer användas, men kärnan i detta förändras inte. Figurerna korsar varandra, enligt villkoren för problemet (i det mest allmänna fallet). Dessa siffror bör också märkas i enlighet med detta. Elementen i uppsättningarna som övervägs kan vara punkter placerade inuti olika segment av diagrammet. Baserat på den kan du skugga specifika områden och därigenom utse de nybildade uppsättningarna.
Med dessa mängder är det möjligt att utföra grundläggande matematiska operationer: addition (summan av uppsättningar element), subtraktion (skillnad), multiplikation (produkt). Tack vare Euler-Venn-diagrammen är det dessutom möjligt att jämföra mängder med antalet element som ingår i dem, utan att räkna dem.
