Geometri är vacker eftersom den, till skillnad från algebra, där det inte alltid är tydligt vad du tycker och varför, ger objektet synlighet. Denna underbara värld av olika kroppar är dekorerad med vanliga polyedrar.
Allmän information om vanliga polyedrar
Vanliga polyedrar, eller som de också kallas platonska fasta ämnen, har enligt många unika egenskaper. Flera vetenskapliga hypoteser är förknippade med dessa objekt. När du börjar studera dessa geometriska kroppar förstår du att du praktiskt taget ingenting vet om ett sådant begrepp som vanliga polyedrar. Presentationen av dessa föremål i skolan är inte alltid intressant, så många kommer inte ens ihåg vad de heter. De flesta kommer bara ihåg kuben. Ingen av kropparna i geometrin är så perfekta som vanliga polyedrar. Alla namnen på dessa geometriska kroppar härstammar från antikens Grekland. De menar antalet ansikten: tetraeder - fyrsidig, hexaeder - sexsidig, oktaeder - oktaeder, dodekaeder - tolvsidig, ikosaeder - tjugosidig. Alla dessa geometriska kropparintog en viktig plats i Platons uppfattning om universum. Fyra av dem personifierade elementen eller enheterna: tetraedern - eld, icosahedron - vatten, kuben - jord, oktaedern - luft. Dodekaedern förkroppsligade allt som existerar. Den ansågs vara den främsta, eftersom den var en symbol för universum.
Generalisering av begreppet polyeder
En polyeder är en samling av ett ändligt antal polygoner så att:
- var och en av sidorna av någon av polygonerna är samtidigt sidan av endast en annan polygon på samma sida;
- från var och en av polygonerna kan du komma till de andra genom att passera längs polygonerna intill den.
Polygonerna som utgör en polyeder är dess ytor och deras sidor är kanter. Polyedrarnas hörn är polygonernas hörn. Om begreppet polygon förstås som platta slutna streckade linjer, kommer man fram till en definition av en polyeder. I det fall då detta begrepp avser en del av planet som begränsas av streckade linjer, bör en yta som består av polygonala delar förstås. En konvex polyeder är en kropp som ligger på ena sidan av ett plan intill dess ansikte.
En annan definition av en polyeder och dess element
En polyeder är en yta som består av polygoner som begränsar en geometrisk kropp. De är:
- icke-konvex;
- konvex (korrekt och felaktigt).
En vanlig polyeder är en konvex polyeder med maximal symmetri. Element av vanliga polyedrar:
- tetraeder: 6 kanter, 4 ytor, 5 hörn;
- hexaeder (kub): 12, 6, 8;
- dodecahedron: 30, 12, 20;
- oktaeder: 12, 8, 6;
- icosahedron: 30, 20, 12.
Eulers sats
Det etablerar ett förhållande mellan antalet kanter, hörn och ytor som topologiskt är ekvivalenta med en sfär. Genom att lägga till antalet hörn och ytor (B + D) för olika vanliga polyedrar och jämföra dem med antalet kanter, kan ett mönster upprättas: summan av antalet ytor och hörn är lika med antalet kanter (P) ökat med 2. Du kan härleda en enkel formel:
B + D=R + 2
Denna formel är sann för alla konvexa polyedrar.
Grundläggande definitioner
Begreppet en vanlig polyeder kan inte beskrivas i en mening. Det är mer meningsfullt och voluminöst. För att ett organ ska erkännas som sådant måste det uppfylla ett antal definitioner. Så en geometrisk kropp kommer att vara en vanlig polyeder om följande villkor är uppfyllda:
- det är konvext;
- samma antal kanter konvergerar vid var och en av dess hörn;
- alla dess ytor är regelbundna polygoner, lika med varandra;
- alla dess dihedriska vinklar är lika.
Egenskaper för vanliga polyedrar
Det finns 5 olika typer av vanliga polyedrar:
- Kub (hexaeder) - den har en platt vinkel på toppen är 90°. Den har en 3-sidig vinkel. Summan av de platta vinklarna i toppen är 270°.
- Tetraeder - platt vinkel i toppen - 60°. Den har en 3-sidig vinkel. Summan av platta vinklar i toppen är 180°.
- Octahedron - platt vertexvinkel - 60°. Den har ett 4-sidigt hörn. Summan av platta vinklar i toppen är 240°.
- Dodecahedron - platt vinkel vid spets 108°. Den har en 3-sidig vinkel. Summan av platta vinklar i toppen är 324°.
- Icosahedron - den har en platt vinkel på toppen - 60°. Den har en 5-sidig vinkel. Summan av platta vinklar i toppen är 300°.
Area med vanliga polyedrar
Ytarean för dessa geometriska kroppar (S) beräknas som arean av en vanlig polygon multiplicerad med antalet ytor (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/p
Volymen av en vanlig polyeder
Detta värde beräknas genom att multiplicera volymen av en vanlig pyramid, vid vars bas det finns en vanlig polygon, med antalet ytor, och dess höjd är radien för den inskrivna sfären (r):
V=1: 3rS
Volymer av vanliga polyedrar
Som alla andra geometriska kroppar har vanliga polyedrar olika volymer. Nedan är formlerna som du kan använda för att beräkna dem:
- tetraeder: α x 3√2: 12;
- oktaeder: α x 3√2: 3;
- icosahedron; α x 3;
- hexaeder (kub): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- dodekaeder: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Elements of regular polyhedra
Hexaeder och oktaeder är dubbla geometriska kroppar. Med andra ord kan de erhållas från varandra om tyngdpunkten i ansiktet på den ena tas som spetsen på den andra, och vice versa. Ikosaedern och dodekaedern är också dubbla. Endast tetraedern är dubbel med sig själv. Enligt Euklidmetoden kan man få en dodekaeder från en hexaeder genom att bygga "tak" på ytorna på en kub. Topparna av en tetraeder kommer att vara vilka fyra hörn av en kub som helst som inte är intilliggande i par längs en kant. Från hexaedern (kuben) kan du få andra vanliga polyedrar. Trots att det finns otaliga reguljära polygoner finns det bara 5 reguljära polyedrar.
Radius av reguljära polygoner
Det finns tre koncentriska sfärer associerade med var och en av dessa geometriska kroppar:
- beskrivs, passerar genom dess toppar;
- inskrivet, vidrör vart och ett av dess ansikten i mitten;
- median, vidrör alla kanter i mitten.
Radien för den beskrivna sfären beräknas med följande formel:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Radien för en inskriven sfär beräknas med formeln:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
där θ är den tvåsidiga vinkeln mellan intilliggande ytor.
Mediansfärens radie kan beräknas med följande formel:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
där h-värdet=4, 6, 6, 10 eller 10. Förhållandet mellan omskrivna och inskrivna radier är symmetriska med avseende på p och q. Detberäknas med formeln:
R/r=tg π/p x tg π/q
Symmetri of polyhedra
Symmetrin hos vanliga polyedrar orsakar huvudintresset för dessa geometriska kroppar. Det förstås som en sådan rörelse av kroppen i rymden, som lämnar samma antal hörn, ytor och kanter. Med andra ord, under inverkan av en symmetritransformation, behåller en kant, vertex, yta antingen sin ursprungliga position eller flyttas till den ursprungliga positionen för en annan kant, vertex eller yta.
Element av symmetri av vanliga polyedrar är karakteristiska för alla typer av sådana geometriska kroppar. Här talar vi om en identisk transformation som lämnar någon av punkterna i sin ursprungliga position. Så när du roterar ett polygon alt prisma kan du få flera symmetrier. Vilken som helst av dem kan representeras som en produkt av reflektioner. En symmetri som är produkten av ett jämnt antal reflektioner kallas en rät linje. Om det är produkten av ett udda antal reflektioner, så kallas det invers. Alltså är alla rotationer kring en linje direkt symmetri. Varje reflektion av en polyeder är en invers symmetri.
För att bättre förstå symmetrielementen i vanliga polyedrar kan vi ta exemplet med en tetraeder. Varje rak linje som kommer att passera genom en av hörnen och mitten av denna geometriska figur kommer också att passera genom mitten av ansiktet mitt emot den. Var och en av 120° och 240° varv runt linjen är plural.tetraederns symmetri. Eftersom den har 4 hörn och 4 ytor finns det bara åtta direkta symmetrier. Vilken som helst av linjerna som går genom mitten av kanten och mitten av denna kropp passerar genom mitten av dess motsatta kant. Varje 180° rotation, kallad ett halvt varv, runt en rak linje är en symmetri. Eftersom tetraedern har tre par kanter finns det ytterligare tre direkta symmetrier. Baserat på det föregående kan vi dra slutsatsen att det totala antalet direkta symmetrier, inklusive den identiska transformationen, kommer att nå tolv. Tetraedern har inga andra direkta symmetrier, men den har 12 omvända symmetrier. Därför kännetecknas tetraedern av tot alt 24 symmetrier. För tydlighetens skull kan du bygga en modell av en vanlig tetraeder av kartong och se till att den här geometriska kroppen verkligen bara har 24 symmetrier.
Dodekaedern och ikosaedern ligger närmast kroppens sfär. Ikosaedern har det största antalet ytor, den största dihedriska vinkeln och kan pressas hårdast mot en inskriven sfär. Dodekaedern har den minsta vinkeldefekten, den största rymdvinkeln vid spetsen. Han kan fylla sin beskrivna sfär maxim alt.
Svep av polyedrar
Vanliga olindade polyedrar, som vi alla limmade ihop i barndomen, har många begrepp. Om det finns en samling polygoner, vars varje sida är identifierad med endast en sida av polyedern, måste identifieringen av sidorna uppfylla två villkor:
- från varje polygon kan du gå över polygoner som haridentifierad sida;
- identifierade sidor måste ha samma längd.
Det är uppsättningen polygoner som uppfyller dessa villkor som kallas polyederns utveckling. Var och en av dessa kroppar har flera av dem. Så, till exempel, en kub har 11 av dem.
