Arean av den laterala ytan och volymen av en trunkerad pyramid: formler och ett exempel på att lösa ett typiskt problem

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

När man studerar egenskaperna hos figurer i tredimensionellt rum inom ramen för stereometri måste man ofta lösa problem för att bestämma volym och yta. I den här artikeln kommer vi att visa hur man beräknar volymen och sidoytan för en trunkerad pyramid med hjälp av välkända formler.

Pyramid i geometri

Inom geometrin är en vanlig pyramid en figur i rymden, som är byggd på någon platt n-gon. Alla dess hörn är anslutna till en punkt utanför polygonens plan. Här är till exempel ett foto som visar en femkantig pyramid.

Denna figur bildas av ytor, hörn och kanter. Den femkantiga ytan kallas basen. De återstående triangulära ytorna bildar sidoytan. Skärningspunkten för alla trianglar är pyramidens huvudpunkt. Om en vinkelrät sänks från den till basen är två alternativ för skärningspunktens position möjliga:

• i det geometriska centrumet, då kallas pyramiden för en rak linje;
• inte medgeometriskt centrum, då blir figuren snett.

Vi överväger vidare endast raka figurer med en vanlig n-gonal bas.

Vad är den här siffran - en stympad pyramid?

För att bestämma volymen av en trunkerad pyramid är det nödvändigt att tydligt förstå vilken figur det är specifikt i fråga. Låt oss klargöra den här frågan.

Anta att vi tar ett skärplan som är parallellt med basen av en vanlig pyramid och skär av en del av sidoytan med det. Om denna operation görs med den femkantiga pyramiden som visas ovan, får du en sådan figur som i figuren nedan.

Från bilden kan man se att denna pyramid redan har två baser, och den översta liknar den nedre, men den är mindre i storlek. Den laterala ytan representeras inte längre av trianglar, utan av trapetser. De är likbenta, och deras antal motsvarar antalet sidor av basen. Den stympade figuren har ingen huvudpunkt, som en vanlig pyramid, och dess höjd bestäms av avståndet mellan parallella baser.

I det allmänna fallet, om figuren i fråga är bildad av n-gonala baser, har den n+2 ytor eller sidor, 2n hörn och 3n kanter. Det vill säga den stympade pyramiden är en polyeder.

Formel för volymen av en stympad pyramid

Kom ihåg att volymen av en vanlig pyramid är 1/3 av produkten av dess höjd och basarea. Denna formel är inte lämplig för en trunkerad pyramid, eftersom den har två baser. Och dess volymkommer alltid att vara mindre än samma värde för den vanliga siffran som den härrör från.

Utan att gå in på de matematiska detaljerna för att erhålla uttrycket presenterar vi den slutliga formeln för volymen av en trunkerad pyramid. Det är skrivet så här:

V=1/3h(S₁+ S₂+ √(S₁ S₂₎₎

Här S₁ och S_{2 är områdena för de nedre respektive övre baserna, h är höjden på figuren. Det skriftliga uttrycket är giltigt inte bara för en rak regelbunden stympad pyramid, utan också för alla figurer av denna klass. Dessutom, oavsett typen av baspolygoner. Det enda villkoret som begränsar användningen av uttrycket för V är behovet av att pyramidens baser är parallella med varandra.}

Flera viktiga slutsatser kan dras genom att studera egenskaperna hos denna formel. Så om arean av den övre basen är noll, kommer vi till formeln för V för en vanlig pyramid. Om ytorna på baserna är lika med varandra får vi formeln för prismats volym.

Hur bestämmer man den laterala ytan?

Att känna till egenskaperna hos en stympad pyramid kräver inte bara förmågan att beräkna dess volym, utan också att veta hur man bestämmer arean av sidoytan.

Trunkerad pyramid består av två typer av ansikten:

• isosceles trapezoids;
• polygonala baser.

Om det finns en vanlig polygon i baserna, representerar beräkningen av dess area inte storsvårigheter. För att göra detta behöver du bara veta längden på sidan a och deras nummer n.

I fallet med en sidoyta innebär beräkningen av dess area att bestämma detta värde för var och en av de n trapetserna. Om n-gonen är korrekt blir formeln för den laterala ytarean:

S_b=h_bn(a₁+a_2)/2

Här är h_b höjden på trapetsen, som kallas figurens apoteme. Kvantiteterna a₁ och a_{2är längderna på sidorna av vanliga n-gonala baser.}

För varje vanlig n-gonal trunkerad pyramid kan apotema h_b definieras unikt genom parametrarna a₁ och a _{2och formens höjd h.}

Uppgiften att beräkna volymen och arean av en figur

Med tanke på en vanlig triangulär stympad pyramid. Det är känt att dess höjd h är 10 cm, och längden på sidorna på baserna är 5 cm och 3 cm. Vad är volymen på den stympade pyramiden och arean på dess sidoyta?

Först, låt oss beräkna värdet V. För att göra detta, hitta arean av liksidiga trianglar som ligger vid basen av figuren. Vi har:

S₁=√3/4a₁²=√3/4 5²=10,825 cm^2;

S₂=√3/4a₂²=√3/4 3²=3,897 cm²

Ersätt data i formeln för V, vi får önskad volym:

V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3

För att bestämma sidoytan bör du vetaapotemlängd h_{b. Med tanke på den motsvarande rätvinkliga triangeln inuti pyramiden kan vi skriva likheten för den:}

h_b=√((√3/6(a₁- a₂))²+ h^{2) ≈ 10,017 cm}

Värdet på apotem och sidorna av de triangulära baserna ersätts med uttrycket S_{b och vi får svaret:}

S_b=h_bn(a₁+a₂)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2cm²

Vi svarade alltså på alla frågor om problemet: V ≈ 70,72 cm³, S_b ≈ 120,2 cm2^.