Ytan av ett rakt prisma: formler och ett exempel på ett problem

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

Volym och ytarea är två viktiga egenskaper hos varje kropp som har ändliga dimensioner i tredimensionellt utrymme. I den här artikeln överväger vi en välkänd klass av polyedrar - prismor. I synnerhet kommer frågan om hur man hittar ytarean på ett rakt prisma att avslöjas.

Vad är ett prisma?

Ett prisma är vilken polyeder som helst som begränsas av flera parallellogram och två identiska polygoner placerade i parallella plan. Dessa polygoner anses vara figurens baser, och dess parallellogram är sidorna. Antalet sidor (hörn) av basen bestämmer namnet på figuren. Till exempel visar figuren nedan ett femkantigt prisma.

Avståndet mellan baserna kallas figurens höjd. Om höjden är lika med längden på någon sidokant, kommer ett sådant prisma att vara rakt. Den andra tillräckliga egenskapen för ett rakt prisma är att alla dess sidor är rektanglar eller kvadrater. Om dockOm ena sidan är ett allmänt parallellogram, kommer figuren att vara lutad. Nedan kan du se hur de raka och sneda prismorna visuellt skiljer sig åt på exemplet med fyrkantiga figurer.

Ytan på ett rakt prisma

Om en geometrisk figur har en n-gonal bas, så består den av n+2 ytor, varav n är rektanglar. Låt oss beteckna längderna på basens sidor som a_i, där i=1, 2, …, n, och beteckna höjden på figuren, som är lika med längden på sidokant, som h. För att bestämma arean (S) av ytan på alla ytor, lägg till arean S_{o för var och en av baserna och alla områden på sidorna (rektanglar). Således kan formeln för S i allmän form skrivas på följande sätt:}

S=2S_o+ S_b

Där S_{b är den laterala ytan.}

Eftersom basen för ett rakt prisma kan vara absolut vilken platt polygon som helst, kan en enda formel för beräkning av S_{ointe ges, och för att bestämma detta värde, i det allmänna fall bör geometrisk analys utföras. Till exempel, om basen är en vanlig n-gon med sidan a, så beräknas dess area med formeln:}

S_o=n/4ctg(pi/n)a²

När det gäller värdet på S_{b, kan uttrycket för dess beräkning ges. Den laterala ytan av ett rakt prisma är:}

S_b=h∑_i=1(a_i)

Det vill säga värdetS_{b beräknas som produkten av figurens höjd och omkretsen av dess bas.}

Exempel på problemlösning

Låt oss tillämpa den förvärvade kunskapen för att lösa följande geometriska problem. Givet ett prisma, vars bas är en rätvinklig triangel med sidor i en rät vinkel på 5 cm och 7 cm. Höjden på figuren är 10 cm. Det är nödvändigt att hitta ytarean på ett rätvinkligt triangulärt prisma.

Först, låt oss beräkna hypotenusan för triangeln. Det kommer att vara lika med:

c=√(5²+ 7^{2)=8,6 cm}

Låt oss nu göra ytterligare en förberedande matematisk operation - beräkna basens omkrets. Det blir:

P=5 + 7 + 8,6=20,6cm

Arean av figurens sidoyta beräknas som produkten av värdet P och höjden h=10 cm, det vill säga S_b=206 cm ^2.

För att hitta arean av hela ytan bör två basområden läggas till det hittade värdet. Eftersom arean av en rätvinklig triangel bestäms av halva produkten av benen får vi:

2S_o=257/2=35cm²

Då får vi att ytarean på ett rakt triangulärt prisma är 35 + 206=241 cm2.