Vad är ett rakt prisma? Egenskaper och formler. Uppgiftsexempel

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

Stereometri är studiet av egenskaperna hos tredimensionella geometriska former. En av de välkända volymetriska figurerna som dyker upp i geometriproblem är ett rakt prisma. Låt oss i den här artikeln överväga vad det är, och även beskriva i detalj ett prisma med en triangulär bas.

Prism och dess typer

Ett prisma är en figur som bildas som ett resultat av en parallell translation av en polygon i rymden. Som ett resultat av denna geometriska operation bildas en figur som består av flera parallellogram och två identiska polygoner parallella med varandra. Parallelogram är prismats sidor och polygoner är dess baser.

Vilket prisma som helst har n+2 sidor, 3n kanter och 2n hörn, där n är antalet hörn eller sidor på den polygonala basen. Bilden visar ett femkantigt prisma som har 7 sidor, 10 hörn och 15 kanter.

Den betraktade klassen av figurer representeras av flera typer av prismor. Vi listar dem kort:

• konkav och konvex;
• sned och rak;
• fel och rätt.

Varje figur tillhör en av de tre listade klassificeringstyperna. När man löser geometriska problem är det lättast att utföra beräkningar för vanliga och raka prismor. Det senare kommer att diskuteras mer i detalj i följande stycken av artikeln.

Vad är ett rakt prisma?

Ett rakt prisma är ett konkavt eller konvext, regelbundet eller oregelbundet prisma, där alla sidor representeras av fyrhörningar med 90° vinklar. Om åtminstone en av sidornas fyrkanter inte är en rektangel eller kvadrat, så kallas prismat sned. En annan definition kan också ges: ett rakt prisma är en sådan figur av en given klass där vilken sidokant som helst är lika med höjden. Under prismats höjd h antas avståndet mellan dess baser.

Båda de givna definitionerna att det är ett direkt prisma är lika och självförsörjande. Det följer av dem att alla dihedriska vinklar mellan någon av baserna och varje sida är 90°.

Det sades ovan att det är bekvämt att arbeta med raka figurer när man löser problem. Detta beror på att höjden matchar längden på sidoribban. Det senare faktumet underlättar processen att beräkna volymen av en figur och arean av dess sidoyta.

Volym av ett direkt prisma

Volym – ett värde som är inneboende i varje rumslig figur, som numeriskt återspeglar den del av utrymmet som är inneslutet mellan ytorna på den betraktadeobjekt. Volymen av ett prisma kan beräknas med följande allmänna formel:

V=S_oh.

Det vill säga produkten av höjden och arean av basen kommer att ge det önskade värdet V. Eftersom baserna för ett rakt prisma är lika, då för att bestämma arean S_o du kan ta vilken som helst av dem.

Fördelen med att använda ovanstående formel specifikt för ett rakt prisma i jämförelse med dess andra typer är att det är mycket lätt att hitta höjden på figuren, eftersom den sammanfaller med längden på sidokanten.

Sidoyta

Det är bekvämt att beräkna inte bara volymen för en rak figur av den aktuella klassen, utan även dess sidoyta. Ja, vilken sida som helst av den är antingen en rektangel eller en kvadrat. Varje elev vet hur man beräknar arean av dessa platta figurer, för detta är det nödvändigt att multiplicera intilliggande sidor med varandra.

Anta att prismats bas är en godtycklig n-gon vars sidor är lika med a_i. Index i går från 1 till n. Arean av en rektangel beräknas så här:

S_i=a_ih.

Arean på sidoytan S_bär lätt att beräkna om du lägger ihop alla ytor S_i rektanglar. I det här fallet får vi den slutliga formeln för S_brakt prisma:

S_b=h∑_i=1(a_i)=hP_o.

För att bestämma den laterala ytan för ett rakt prisma måste du alltså multiplicera dess höjd med omkretsen av en bas.

Problem med ett triangulärt prisma

Anta att ett rakt prisma ges. Basen är en rätvinklig triangel. Benen på denna triangel är 12 cm och 8 cm. Det är nödvändigt att beräkna figurens volym och dess totala yta om prismats höjd är 15 cm.

Först, låt oss beräkna volymen av ett rakt prisma. Triangeln (rektangulär) som ligger vid dess baser har en area:

S_o=a₁a₂/2=128/2=48cm².

Som du kanske gissar är a₁ och a₂ ben i denna ekvation. Genom att känna till basarean och höjden (se problemets tillstånd) kan du använda formeln för V:

V=S_oh=4815=720cm³.

Figurens totala yta består av två delar: basernas ytor och sidoytan. Områdena för de två baserna är:

S_2o=2S_o=482=96cm².

För att beräkna den laterala ytan måste du känna till omkretsen av en rätvinklig triangel. Beräkna med Pythagoras sats dess hypotenusa a₃, vi har:

a₃ =√(a₁²+ a₂ 2^)=√(122^{+ 8}2^{)=14,42 cm.}

Då blir omkretsen av triangeln på basen av det högra prismat:

P=a₁+ a₂+ a₃=12 + 8 + 14, 42=34, 42 cm.

Att använda formeln för S_b, som skrevs i föregående stycke,få:

S_b=hP=1534, 42=516, 3 cm.

Om vi lägger till ytorna S_2o och S_b, får vi den totala ytarean av den studerade geometriska figuren:

S=S_2o+ S_b=96 + 516, 3=612, 3cm^2.

Ett triangulärt prisma, som är tillverkat av speciella typer av glas, används i optik för att studera spektra av ljusemitterande föremål. Sådana prismor kan bryta ner ljus till komponentfrekvenser på grund av fenomenet dispersion.