Begreppet vinkelacceleration. Formler för kinematik och rotationsdynamik. Uppgiftsexempel

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

Kroppens rotation är en av de viktiga typerna av mekanisk rörelse inom teknik och natur. Till skillnad från linjär rörelse beskrivs den av sin egen uppsättning kinematiska egenskaper. En av dem är vinkelacceleration. Vi karakteriserar detta värde i artikeln.

Rotationsrörelse

Innan vi pratar om vinkelacceleration, låt oss beskriva vilken typ av rörelse det gäller. Vi talar om rotation, vilket är kropparnas rörelse längs cirkulära banor. För att rotation ska ske måste vissa villkor vara uppfyllda:

• närvaro av en axel eller rotationspunkt;
• närvaron av en centripetalkraft som skulle hålla kroppen i en cirkulär bana.

Exempel på den här typen av rörelser är olika attraktioner, till exempel en karusell. Inom tekniken visar sig rotation i rörelsen av hjul och axlar. I naturen är det mest slående exemplet på denna typ av rörelse planeternas rotation runt sin egen axel och runt solen. Centripetalkraftens roll i dessa exempel spelas av krafterna för interatomär interaktion i fasta ämnen och gravitationskrafteninteraktion.

Kinematiska egenskaper för rotation

Dessa egenskaper inkluderar tre storheter: vinkelacceleration, vinkelhastighet och rotationsvinkel. Vi kommer att beteckna dem med de grekiska symbolerna α, ω respektive θ.

Eftersom kroppen rör sig i en cirkel är det bekvämt att beräkna vinkeln θ som den kommer att vända inom en viss tid. Denna vinkel uttrycks i radianer (sällan i grader). Eftersom cirkeln har 2 × pi radianer, kan vi skriva en ekvation som relaterar θ till båglängden L av svängen:

L=θ × r

Där r är rotationsradien. Denna formel är lätt att få om du kommer ihåg motsvarande uttryck för omkretsen.

Vinkelhastigheten ω, liksom sin linjära motsvarighet, beskriver rotationshastigheten runt axeln, det vill säga den bestäms enligt följande uttryck:

ω¯=d θ / d t

Mängden ω¯ är ett vektorvärde. Den är riktad längs rotationsaxeln. Dess enhet är radianer per sekund (rad/s).

Slutligen är vinkelacceleration en fysisk egenskap som bestämmer förändringshastigheten i värdet på ω¯, vilket matematiskt skrivs enligt följande:

α¯=d ω¯/ d t

Vektor α¯ är riktad mot att ändra hastighetsvektorn ω¯. Vidare kommer det att sägas att vinkelaccelerationen är riktad mot vektorn för kraftmomentet. Detta värde mäts i radianer.kvadratsekund (rad/s²).

Moment of force and acceleration

Om vi minns Newtons lag, som förbinder kraft och linjär acceleration till en enda likhet, då, när vi överför denna lag till fallet med rotation, kan vi skriva följande uttryck:

M¯=I × α¯

Här är M¯ kraftmomentet, som är produkten av kraften som tenderar att snurra systemet gånger spaken - avståndet från kraftanbringningspunkten till axeln. Värdet I är analogt med kroppens massa och kallas tröghetsmomentet. Den skrivna formeln kallas momentekvationen. Från den kan vinkelaccelerationen beräknas enligt följande:

α¯=M¯/ I

Eftersom I är en skalär, är α¯ alltid riktad mot det verkande kraftmomentet M¯. Riktningen på M¯ bestäms av högerhandsregeln eller gimletregeln. Vektorerna M¯ och α¯ är vinkelräta mot rotationsplanet. Ju större tröghetsmoment kroppen är, desto lägre är värdet på vinkelaccelerationen som det fasta momentet M¯ kan ge systemet.

Kinematiska ekvationer

För att förstå den viktiga roll som vinkelacceleration spelar för att beskriva rotationsrörelsen, låt oss skriva ner formlerna som förbinder de kinematiska storheterna som studerats ovan.

I fallet med likformigt accelererad rotation är följande matematiska samband giltiga:

ω=α × t;

θ=α × t² / 2

Den första formeln visar att vinkelnhastigheten kommer att öka med tiden enligt en linjär lag. Det andra uttrycket låter dig beräkna vinkeln med vilken kroppen kommer att vända på en känd tid t. Grafen för funktionen θ(t) är en parabel. I båda fallen är vinkelaccelerationen en konstant.

Om vi använder relationsformeln mellan L och θ som ges i början av artikeln, kan vi få ett uttryck för α i termer av linjär acceleration a:

α=a / r

Om α är konstant, kommer den linjära accelerationen a att öka proportionellt när avståndet från rotationsaxeln r ökar. Det är därför vinkelegenskaper används för rotation, till skillnad från linjära, ändras de inte med ökande eller minskande r.

Exempelproblem

Metalaxeln, som roterade med en frekvens på 2 000 varv per sekund, började sakta ner och stannade helt efter 1 minut. Det är nödvändigt att beräkna med vilken vinkelacceleration processen för retardation av axeln ägde rum. Du bör också beräkna antalet varv som axeln gjorde innan den stannade.

Processen med rotationsretardation beskrivs med följande uttryck:

ω=ω₀- α × t

Initialvinkelhastigheten ω₀ bestäms utifrån rotationsfrekvensen f enligt följande:

ω₀=2 × pi × f

Eftersom vi känner till retardationstiden får vi accelerationsvärdet α:

α=ω₀ / t=2 × pi × f / t=209,33 rad/s²

Detta nummer ska tas med ett minustecken,eftersom vi pratar om att sakta ner systemet, inte att påskynda det.

För att bestämma antalet varv som axeln kommer att göra under bromsning, använd uttrycket:

θ=ω₀ × t - α × t² / 2=376 806 rad.

Det erhållna värdet för rotationsvinkeln θ i radianer omvandlas helt enkelt till antalet varv som axeln gör innan den stannar helt med en enkel division med 2 × pi:

n=θ / (2 × pi)=60 001 varv.

Därmed fick vi alla svar på problemets frågor: α=-209, 33 rad/s², n=60 001 varv.