Kinematik är en del av fysiken som tar hänsyn till kropparnas rörelselagar. Dess skillnad från dynamik är att den inte tar hänsyn till krafterna som verkar på en rörlig kropp. Den här artikeln ägnas åt frågan om rotationsrörelsens kinematik.
Rotationsrörelse och dess skillnad från framåtrörelse
Om du är uppmärksam på de omgivande rörliga föremålen kan du se att de antingen rör sig i en rak linje (bilen kör på vägen, planet flyger i himlen) eller i en cirkel (den samma bil kommer in i en sväng, hjulets rotation). Mer komplexa typer av rörelser av objekt kan reduceras, som en första approximation, till en kombination av de två angivna typerna.
Progressiv rörelse innebär att kroppens rumsliga koordinater ändras. I det här fallet betraktas det ofta som en materialpunkt (geometriska dimensioner beaktas inte).
Roterande rörelse är en typ av rörelse därsystemet rör sig i en cirkel runt någon axel. Dessutom betraktas objektet i detta fall sällan som en materiell punkt, oftast används en annan approximation - en absolut stel kropp. Det senare innebär att de elastiska krafterna som verkar mellan kroppens atomer försummas och det antas att systemets geometriska dimensioner inte förändras under rotation. Det enklaste fallet är en fast axel.
Kinematiken för translationell och roterande rörelse lyder samma lagar som Newton. Liknande fysiska storheter används för att beskriva båda typerna av rörelser.
Vilka storheter beskriver rörelse i fysik?
Kinematik för rotations- och translationsrörelser använder tre grundläggande kvantiteter:
- Vägen gick. Vi kommer att beteckna det med bokstaven L för translationell och θ - för rotationsrörelse.
- Hastighet. För ett linjärt skiftläge skrivs det vanligtvis med den latinska bokstaven v, för rörelse längs en cirkelbana - med den grekiska bokstaven ω.
- Acceleration. För en linjär och cirkulär bana används symbolerna a respektive α.
Begreppet en bana används också ofta. Men för de typer av rörelser av föremål som övervägs blir detta koncept trivi alt, eftersom translationsrörelsen kännetecknas av en linjär bana och roterande - av en cirkel.
Linjär- och vinkelhastigheter
Låt oss börja kinematiken för en materialpunkts rotationsrörelsesett från begreppet hastighet. Det är känt att för kroppars translationella rörelser beskriver detta värde vilken väg som kommer att övervinnas per tidsenhet, det vill säga:
v=L / t
V mäts i meter per sekund. För rotation är det obekvämt att överväga denna linjära hastighet, eftersom den beror på avståndet till rotationsaxeln. En något annorlunda egenskap introduceras:
ω=θ / t
Detta är en av huvudformlerna för kinematik för roterande rörelse. Den visar vid vilken vinkel θ hela systemet kommer att vända sig runt en fast axel i tiden t.
Båda formlerna ovan återspeglar samma fysiska process för rörelsehastighet. Endast för det linjära fallet är avståndet viktigt, och för det cirkulära fallet, rotationsvinkeln.
Båda formlerna interagerar med varandra. Låt oss få den här kopplingen. Om vi uttrycker θ i radianer, kommer en materialpunkt som roterar på ett avstånd R från axeln, efter att ha gjort ett varv, att vandra banan L=2piR. Uttrycket för den linjära hastigheten kommer att ha formen:
v=L / t=2piR / t
Men förhållandet mellan 2pi radianer och tid t är inget annat än vinkelhastighet. Då får vi:
v=ωR
Härifrån kan man se att ju större den linjära hastigheten v och ju mindre rotationsradien R är, desto större är vinkelhastigheten ω.
Linjär- och vinkelacceleration
En annan viktig egenskap i kinematiken för en materialpunkts rotationsrörelse är vinkelaccelerationen. Innan vi lär känna honom, låt ossformel för ett liknande linjärt värde:
1) a=dv / dt
2) a=Δv / Δt
Det första uttrycket återspeglar den momentana accelerationen (dt ->0), medan den andra formeln är lämplig om hastigheten ändras jämnt över tiden Δt. Accelerationen som erhålls i den andra varianten kallas medel.
Med tanke på likheten mellan storheter som beskriver linjär- och rotationsrörelse kan vi för vinkelacceleration skriva:
1) α=dω / dt
2) α=Δω / Δt
Tolkningen av dessa formler är exakt densamma som för det linjära fallet. Den enda skillnaden är att a visar hur många meter per sekund hastigheten ändras per tidsenhet, och α visar hur många radianer per sekund som vinkelhastigheten ändras under samma tidsperiod.
Låt oss hitta sambandet mellan dessa accelerationer. Genom att ersätta värdet för v, uttryckt i termer av ω, med någon av de två likheterna för α, får vi:
α=Δω / Δt=Δv / Δt1 / R=a / R
Det följer att ju mindre rotationsradien och ju större linjär acceleration är, desto större är värdet på α.
Tillryggalagd sträcka och svängvinkel
Det återstår att ge formler för den sista av de tre grundstorheterna i kinematiken för rotationsrörelse runt en fast axel - för rotationsvinkeln. Som i de föregående styckena skriver vi först ner formeln för likformigt accelererad rätlinjig rörelse, vi har:
L=v0 t + a t2 / 2
Fullständig analogi med rotationsrörelse leder till följande formel för det:
θ=ω0 t + αt2 / 2
Det sista uttrycket låter dig få rotationsvinkeln för vilken tid som helst t. Observera att omkretsen är 2pi radianer (≈ 6,3 radianer). Om, som ett resultat av att lösa problemet, värdet på θ är större än det angivna värdet, så har kroppen gjort mer än ett varv runt axeln.
Formeln för förhållandet mellan L och θ erhålls genom att ersätta motsvarande värden för ω0och α genom linjära egenskaper:
θ=v0 t / R + at2 / (2R)=L /R
Det resulterande uttrycket reflekterar innebörden av själva vinkeln θ i radianer. Om θ=1 rad, så är L=R, det vill säga en vinkel på en radian vilar på en båge med längden en radie.
Exempel på problemlösning
Låt oss lösa följande problem med rotationskinematik: vi vet att bilen rör sig med en hastighet av 70 km/h. Genom att veta att diametern på dess hjul är D=0,4 meter, är det nödvändigt att bestämma värdet på ω för det, såväl som antalet varv som det kommer att göra när bilen färdas en sträcka på 1 kilometer.
För att hitta vinkelhastigheten räcker det att ersätta de kända data i formeln för att relatera den till den linjära hastigheten, vi får:
ω=v/R=7104 / 3600 / 0, 2=97, 222 rad/s.
På samma sätt för vinkeln θ som hjulet kommer att svänga till efter att ha passerat1 km, vi får:
θ=L/R=1000/0, 2=5000 rad.
Med tanke på att ett varv är 6,2832 radianer får vi antalet hjulvarv som motsvarar denna vinkel:
n=θ / 6, 2832=5000 / 6, 2832=795, 77 varv.
Vi svarade på frågorna med formlerna i artikeln. Det var också möjligt att lösa problemet på ett annat sätt: beräkna tiden för vilken bilen kommer att färdas 1 km, och ersätt den med formeln för rotationsvinkeln, från vilken vi kan få vinkelhastigheten ω. Svar hittat.
