I naturen och tekniken möter vi ofta manifestationen av rotationsrörelsen hos solida kroppar, såsom axlar och kugghjul. Hur denna typ av rörelse beskrivs i fysiken, vilka formler och ekvationer som används för detta, dessa och andra frågor behandlas i den här artikeln.
Vad är rotation?
Var och en av oss föreställer sig intuitivt vilken typ av rörelse vi pratar om. Rotation är en process där en kropps- eller materialpunkt rör sig längs en cirkulär bana runt någon axel. Ur geometrisk synvinkel är rotationsaxeln för en stel kropp en rak linje, vars avstånd förblir oförändrat under rörelsen. Detta avstånd kallas rotationsradien. I det följande kommer vi att beteckna det med bokstaven r. Om rotationsaxeln passerar genom kroppens masscentrum, kallas den för sin egen axel. Ett exempel på rotation runt sin egen axel är motsvarande rörelse hos solsystemets planeter.
För att rotation ska ske måste det finnas centripetalacceleration, som uppstår p.g.a.centripetal kraft. Denna kraft riktas från kroppens masscentrum till rotationsaxeln. Centripetalkraftens natur kan vara mycket olika. Så, på en kosmisk skala, spelar gravitationen sin roll, om kroppen är fixerad med en tråd, kommer spänningskraften hos den senare att vara centripetal. När en kropp roterar runt sin egen axel, spelas rollen av centripetalkraften av den interna elektrokemiska interaktionen mellan elementen (molekyler, atomer) som utgör kroppen.
Det måste förstås att utan närvaron av en centripetalkraft kommer kroppen att röra sig i en rak linje.
Fysiska kvantiteter som beskriver rotation
För det första är det dynamiska egenskaper. Dessa inkluderar:
- momentum L;
- tröghetsmoment I;
- kraftögonblick M.
För det andra är dessa kinematiska egenskaper. Låt oss lista dem:
- rotationsvinkel θ;
- vinkelhastighet ω;
- vinkelacceleration α.
Låt oss kort beskriva var och en av dessa kvantiteter.
Vinkelmomentet bestäms av formeln:
L=pr=mvr
Där p är det linjära momentet, m är materialpunktens massa, v är dess linjära hastighet.
Tröghetsmomentet för en materialpunkt beräknas med hjälp av uttrycket:
I=mr2
För varje kropp med komplex form beräknas värdet av I som integralsumman av tröghetsmomenten för materialpunkter.
Kraftmomentet M beräknas enligt följande:
M=Fd
Här F -extern kraft, d - avstånd från dess appliceringspunkt till rotationsaxeln.
Den fysiska betydelsen av alla kvantiteter, i vars namn ordet "ögonblick" är närvarande, liknar betydelsen av motsvarande linjära storheter. Till exempel visar kraftmomentet förmågan hos en applicerad kraft att ge vinkelacceleration till ett system av roterande kroppar.
Kinematiska egenskaper definieras matematiskt av följande formler:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Som du kan se av dessa uttryck, liknar vinkelegenskaperna i betydelse linjära (hastighet v och acceleration a), bara de är tillämpliga på en cirkulär bana.
Rotationsdynamik
Inom fysiken utförs studiet av en stel kropps rotationsrörelse med hjälp av två grenar av mekaniken: dynamik och kinematik. Låt oss börja med dynamik.
Dynamics studerar yttre krafter som verkar på ett system av roterande kroppar. Låt oss omedelbart skriva ner ekvationen för rotationsrörelsen för en stel kropp, och sedan kommer vi att analysera dess beståndsdelar. Så den här ekvationen ser ut så här:
M=Iα
Kraftmomentet, som verkar på ett system med tröghetsmoment I, orsakar uppkomsten av vinkelacceleration α. Ju mindre värdet på I är, desto lättare är det med hjälp av ett visst moment M att snurra upp systemet till höga hastigheter med korta tidsintervall. Till exempel är en metallstav lättare att rotera längs sin axel än vinkelrätt mot den. Det är dock lättare att rotera samma stång runt en axel som är vinkelrät mot den och passerar genom masscentrum än genom dess ände.
BevarandelagvärdenL
Detta värde introducerades ovan, det kallas vinkelmomentet. Ekvationen för rotationsrörelse för en stel kropp, som presenterades i föregående stycke, skrivs ofta i en annan form:
Mdt=dL
Om momentet av yttre krafter M verkar på systemet under tiden dt, så orsakar det en förändring av systemets vinkelmoment med dL. Följaktligen, om kraftmomentet är lika med noll, så är L=konst. Detta är lagen för bevarande av värdet L. För det, med hjälp av sambandet mellan linjär och vinkelhastighet, kan vi skriva:
L=mvr=mωr2=Iω.
Således, i frånvaro av kraftmomentet, är produkten av vinkelhastigheten och tröghetsmomentet ett konstant värde. Denna fysiska lag används av konståkare i sina framträdanden eller konstgjorda satelliter som måste roteras runt sin egen axel i yttre rymden.
Centripetalacceleration
Ovan, i studiet av rotationsrörelsen hos en stel kropp, har denna mängd redan beskrivits. Arten av centripetalkrafterna noterades också. Här kommer vi bara att komplettera denna information och ge motsvarande formler för att beräkna denna acceleration. Beteckna det som c.
Eftersom centripetalkraften är riktad vinkelrätt mot axeln och passerar genom den, skapar den inte ett ögonblick. Det vill säga, denna kraft har absolut ingen effekt på rotationens kinematiska egenskaper. Det skapar dock en centripetalacceleration. Vi ger två formler fördess definitioner:
ac=v2/r;
ac=ω2r.
Alltså, ju större vinkelhastighet och radie, desto större kraft måste anbringas för att hålla kroppen på en cirkulär bana. Ett slående exempel på denna fysiska process är sladd av en bil under en sväng. En sladd uppstår när centripetalkraften, som spelas av friktionskraften, blir mindre än centrifugalkraften (tröghetskaraktäristik).
Rotationskinematik
Tre huvudsakliga kinematiska egenskaper listades ovan i artikeln. Kinematiken för en stel kropps rotationsrörelse beskrivs med följande formler:
θ=ωt=>ω=konst., α=0;
θ=ω0t + αt2/2=> ω=ω0 + αt, α=konst.
Den första raden innehåller formler för enhetlig rotation, som förutsätter frånvaron av ett yttre kraftmoment som verkar på systemet. Den andra raden innehåller formler för likformigt accelererad rörelse i en cirkel.
Observera att rotation inte bara kan ske med positiv acceleration, utan även med negativ. I det här fallet, i formlerna på den andra raden, sätt ett minustecken före den andra termen.
Exempel på problemlösning
Ett kraftmoment på 1000 Nm verkade på metallaxeln i 10 sekunder. Att veta att axelns tröghetsmoment är 50kgm2, det är nödvändigt att bestämma vinkelhastigheten som det nämnda kraftmomentet gav till axeln.
Vi tillämpar den grundläggande rotationsekvationen och beräknar axelns acceleration:
M=Iα=>
α=M/I.
Eftersom denna vinkelacceleration verkade på axeln under tiden t=10 sekunder, använder vi den enhetligt accelererade rörelseformeln för att beräkna vinkelhastigheten:
ω=ω0+ αt=M/It.
Här ω0=0 (axeln roterade inte förrän kraftmomentet M).
Ersätt de numeriska värdena för kvantiteterna med likhet, vi får:
ω=1000/5010=200 rad/s.
För att översätta detta tal till vanliga varv per sekund måste du dividera det med 2pi. Efter att ha slutfört denna åtgärd får vi att axeln kommer att rotera med en frekvens på 31,8 rpm.
