Ämnet "arithmetisk progression" studeras i den allmänna algebrakursen i skolor i 9:an. Detta ämne är viktigt för ytterligare djupgående studier av matematiken i talserier. I den här artikeln kommer vi att bekanta oss med den aritmetiska utvecklingen, dess skillnad, samt med typiska uppgifter som skolbarn kan möta.
Begreppet algebraisk progression
Numerisk progression är en sekvens av tal där varje efterföljande element kan erhållas från det föregående, om någon matematisk lag tillämpas. Det finns två enkla typer av progression: geometrisk och aritmetisk, som också kallas algebraisk. Låt oss uppehålla oss mer i detalj.
Låt oss föreställa oss något rationellt tal, beteckna det med symbolen a1, där indexet indikerar dess ordningsnummer i den aktuella serien. Låt oss lägga till ett annat nummer till ett1 , låt oss beteckna det d. Sedan den andraett element i en serie kan reflekteras enligt följande: a2=a1+d. Lägg nu till d igen, vi får: a3=a2+d. Om du fortsätter med den här matematiska operationen kan du få en hel serie med tal, som kommer att kallas en aritmetisk progression.
Som kan förstås av ovanstående, för att hitta det n:te elementet i denna sekvens, måste du använda formeln: a =a1+ (n -1)d. Genom att ersätta n=1 i uttrycket får vi faktiskt a1=a1, om n=2, så innebär formeln: a2=a1 + 1d, och så vidare.
Till exempel, om skillnaden mellan en aritmetisk progression är 5, och a1=1, betyder det att talserien för den aktuella typen ser ut så här: 1, 6, 11, 16, 21, … Som du kan se är var och en av dess termer 5 större än den föregående.
Formler för skillnaden i aritmetisk progression
Från ovanstående definition av den betraktade serien av tal, följer att för att bestämma den, måste du känna till två tal: a1 och d. Det senare kallas skillnaden i denna progression. Det bestämmer unikt beteendet för hela serien. Faktum är att om d är positivt, så kommer talserien konstant att öka, tvärtom, i fallet med negativ d, kommer talen i serien att öka endast modulo, medan deras absoluta värde kommer att minska med ökande antal n.
Vad är skillnaden mellan den aritmetiska progressionen? Tänk på de två huvudformlerna som används för att beräkna detta värde:
- d=an+1-a , denna formel följer direkt av definitionen av nummerserien i fråga.
- d=(-a1+a)/(n-1), detta uttryck erhålls genom att uttrycka d från den angivna formeln i föregående stycke i artikeln. Observera att detta uttryck blir obestämt (0/0) om n=1. Detta beror på det faktum att det är nödvändigt att känna till minst två element i serien för att kunna bestämma dess skillnad.
Dessa två grundläggande formler används för att lösa alla problem med att hitta progressionsskillnaden. Det finns dock en annan formel som du också behöver känna till.
Summa av de första elementen
Formeln som kan användas för att bestämma summan av ett valfritt antal medlemmar av en algebraisk progression, enligt historiska bevis, erhölls först av matematikens "prins" på 1700-talet, Carl Gauss. En tysk vetenskapsman, medan han fortfarande var en pojke i lågstadiet i en byskola, märkte att för att lägga till naturliga tal i serien från 1 till 100, måste du först summera det första elementet och det sista (det resulterande värdet blir lika med till summan av de näst sista och andra, näst sista och tredje elementen, och så vidare), och sedan ska detta tal multipliceras med antalet av dessa belopp, det vill säga med 50.
Formeln som återspeglar det angivna resultatet på ett visst exempel kan generaliseras till ett godtyckligt fall. Det kommer att se ut så här: S =n/2(a +a1). Observera att för att hitta det angivna värdet krävs inte kunskap om skillnaden d,om två termer av förloppet är kända (a och a1).
Exempel 1. Bestäm skillnaden genom att känna till de två termerna i serien a1 och an
Låt oss visa hur man tillämpar formlerna som nämns ovan i artikeln. Låt oss ge ett enkelt exempel: skillnaden mellan den aritmetiska progressionen är okänd, det är nödvändigt att bestämma vad den kommer att vara lika med om a13=-5, 6 och a1 =-12, 1.
Eftersom vi känner till värdena för två element i den numeriska sekvensen, och ett av dem är det första talet, kan vi använda formel nr 2 för att bestämma skillnaden d. Vi har: d=(-1(-12, 1)+(-5, 6))/12=0. 54167. I uttrycket använde vi värdet n=13, eftersom medlemmen med detta serienummer är känt.
Den resulterande skillnaden indikerar att progressionen ökar, trots att de element som anges i problemets tillstånd har ett negativt värde. Det kan ses att a13>a1, även om |a13|<|a 1 |.
Exempel 2. Positiva medlemmar av progressionen i exempel 1
Låt oss använda resultatet från föregående exempel för att lösa ett nytt problem. Det är formulerat enligt följande: från vilket sekvensnummer börjar elementen i progressionen i exempel 1 att ta positiva värden?
Som visas, förloppet där a1=-12, 1 och d=0. 54167 ökar, så från en siffra kommer siffrorna att börja ta bara positiva värden. För att bestämma detta tal n måste man lösa en enkel olikhet, dvsmatematiskt skrivet enligt följande: a >0 eller, med hjälp av lämplig formel, skriver vi om olikheten: a1 + (n-1)d>0. Det är nödvändigt att hitta det okända n, låt oss uttrycka det: n>-1a1/d + 1. Nu återstår att ersätta de kända värdena för skillnaden och den första medlemmen av sekvensen. Vi får: n>-1(-12, 1) /0, 54167 + 1=23, 338 eller n>23, 338. Eftersom n bara kan ta heltalsvärden, följer det av den resulterande olikheten att alla medlemmar i serien som kommer att har ett nummer större än 23 kommer att vara positivt.
Kontrollera ditt svar genom att använda formeln ovan för att beräkna de 23:e och 24:e elementen i denna aritmetiska progression. Vi har: a23=-12, 1 + 220, 54167=-0, 18326 (negativt tal); a24=-12, 1 + 230. 54167=0, 3584 (positivt värde). Det erhållna resultatet är alltså korrekt: från n=24 kommer alla medlemmar i nummerserien att vara större än noll.
Exempel 3. Hur många stockar får plats?
Låt oss ge ett konstigt problem: under avverkningen beslutades det att stapla sågade stockar ovanpå varandra som visas i bilden nedan. Hur många stockar kan staplas på detta sätt, med vetskap om att 10 rader får plats tot alt?
På det här sättet att stapla loggar kan du lägga märke till en intressant sak: varje efterföljande rad kommer att innehålla en logg mindre än den föregående, det vill säga det finns en algebraisk progression, vars skillnad är d=1. Om vi antar att antalet loggar i varje rad är en medlem av denna progression,och med tanke på att a1=1 (endast en stock får plats längst upp), hittar vi siffran a10. Vi har: a10=1 + 1(10-1)=10. Det vill säga i den 10:e raden, som ligger på marken, kommer det att finnas 10 stockar.
Den totala mängden av denna "pyramidformade" konstruktion kan erhållas med Gauss-formeln. Vi får: S10=10/2(10+1)=55 loggar.
