Skolgeometrikursen är uppdelad i två stora avsnitt: planimetri och solid geometri. Stereometri studerar rumsliga figurer och deras egenskaper. I den här artikeln ska vi titta på vad ett rakt prisma är och ge formler som beskriver dess egenskaper såsom diagonala längder, volym och ytarea.
Vad är ett prisma?
När skolbarn ombeds nämna definitionen av ett prisma svarar de att denna figur är två identiska parallella polygoner, vars sidor är förbundna med parallellogram. Denna definition är så generell som möjligt, eftersom den inte ställer villkor för polygonernas form, på deras inbördes arrangemang i parallella plan. Dessutom innebär det närvaron av anslutande parallellogram, vars klass också inkluderar en kvadrat, en romb och en rektangel. Nedan kan du se vad ett fyrkantigt prisma är.
Vi ser att ett prisma är en polyeder (polyeder) som består av n + 2sidor, 2 × n hörn och 3 × n kanter, där n är antalet sidor (hörn) i en av polygonerna.
Båda polygonerna brukar kallas figurens baser, de andra ytorna är prismats sidor.
Konceptet med ett rakt prisma
Det finns olika sorters prismor. Så de talar om regelbundna och oregelbundna figurer, om triangulära, femkantiga och andra prismor, det finns konvexa och konkava figurer, och slutligen är de lutande och raka. Låt oss prata om det senare mer i detalj.
Ett höger prisma är en sådan figur av den studerade klassen av polyedrar, vars alla sidofyrar har räta vinklar. Det finns bara två typer av sådana fyrhörningar - en rektangel och en kvadrat.
Den övervägda formen av figuren har en viktig egenskap: höjden på ett rakt prisma är lika med längden på dess sidokant. Observera att alla sidokanter på figuren är lika med varandra. När det gäller sidoytorna är de i det allmänna fallet inte lika med varandra. Deras jämlikhet är möjlig om det, förutom att prismat är rakt, också blir korrekt.
Figuren nedan visar en rak figur med en femkantig bas. Det kan ses att alla dess sidoytor är rektanglar.
Prismdiagonaler och dess linjära parametrar
De huvudsakliga linjära egenskaperna för ett prisma är dess höjd h och längderna på sidorna av dess bas ai, där i=1, …, n. Om basen är en vanlig polygon, så räcker det med att veta längden a på en sida för att beskriva dess egenskaper. Att känna till de markerade linjära parametrarna tillåter oss att entydigtdefiniera sådana egenskaper hos en figur som dess volym eller yta.
Diagonalerna i ett rakt prisma är segment som förbinder två icke intilliggande hörn. Sådana diagonaler kan vara av tre typer:
- ligger i basplanen;
- placerad i sidorektanglarnas plan;
- figurer som hör till volymen.
Längden på de diagonaler som är relaterade till basen bör bestämmas beroende på typen av n-gon.
Diagonaler för sidorektanglar beräknas med följande formel:
d1i=√(ai2+ h2).
För att bestämma volymdiagonaler måste du känna till värdet på längden på motsvarande basdiagonal och höjd. Om någon diagonal av basen betecknas med bokstaven d0i, beräknas volymdiagonalen d2i enligt följande:
d2i=√(d0i2+ h2).
Till exempel, i fallet med ett regelbundet fyrkantigt prisma, kommer längden på volymdiagonalen att vara:
d2=√(2 × a2+ h2).
Observera att ett rätvinkligt triangulärt prisma bara har en av de tre namngivna typerna av diagonaler: sidodiagonalen.
Ytan av den studerade klassen av former
Ytarea är summan av areorna av alla ytor i en figur. För att visualisera alla ansikten bör du göra en skanning av prismat. Som ett exempel, ett sådant svep för en femkantig figur visas nedan.
Vi ser att antalet planfigurer är n + 2 och n är rektanglar. För att beräkna arean av hela svepet, lägg till områdena för två identiska baser och områdena för alla rektanglar. Då ser motsvarande formel ut så här:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Denna likhet visar att den laterala ytarean för den studerade typen av prismor är lika med produkten av figurens höjd och omkretsen av dess bas.
Basarean för So kan beräknas genom att använda lämplig geometrisk formel. Till exempel, om basen av ett rät prisma är en rätvinklig triangel, får vi:
So=a1 × a2 / 2.
Där a1 och a2 är triangelns ben.
Om basen är en n-gon med lika vinklar och sidor, kommer följande formel att vara rättvis:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Volymformel
Att bestämma volymen av ett prisma av något slag är inte en svår uppgift om dess basarea So och höjd h är kända. Genom att multiplicera dessa värden tillsammans får vi volymen V i figuren, det vill säga:
V=So × h.
Eftersom parametern h för ett rakt prisma är lika med längden på den laterala kanten, kommer hela problemet med att beräkna volymen ner på att beräkna arean So. Ovanför osshar redan sagt några ord och gett ett par formler för att bestämma So. Här noterar vi bara att i fallet med en godtycklig bas, bör du dela upp den i enkla segment (trianglar, rektanglar), beräkna arean för varje och sedan lägga till alla områden för att få S o.
