Det femkantiga prismat för att lösa problem i geometri är mycket mindre vanligt än sådana prismor som triangulära, fyrkantiga eller hexagonala. Ändå är det användbart att granska de grundläggande egenskaperna hos den här formen, samt lära sig hur man ritar den.
Vad är ett femkantigt prisma?
Detta är en tredimensionell figur, vars baser är femhörningar och sidorna är parallellogram. Om vart och ett av dessa parallellogram är vinkelrät mot de parallella baserna, kallas ett sådant prisma rektangulärt. Sidoytan på ett rektangulärt femkantigt prisma består av fem rektanglar. Dessutom är sidan som gränsar till basen av var och en av dem lika med motsvarande längd på sidan av femhörningen.
Om femhörningen är regelbunden, det vill säga alla dess sidor och vinklar är lika med varandra, kallas ett sådant rektangulärt prisma regelbundet. Längre i artikeln kommer vi att överväga egenskaperna hos just denna figur.
Prism elements
För henne, som för alla prisma,följande element är karakteristiska:
- ansikter eller sidor är delar av plan som avgränsar en figur i rymden;
- tops - skärningspunkter mellan tre sidor;
- ribs - segment av skärningspunkten mellan två sidor av figuren.
Numren för alla namngivna element är relaterade till varandra genom följande likhet:
Antal kanter=antal hörn + antal ytor - 2
Detta uttryck kallas Eulerformeln för polyedern.
I ett femkantigt prisma är antalet sidor sju (två baser + fem rektanglar). Antalet toppar är 10 (fem för varje bas). Antalet kanter i detta fall kommer att vara:
Antal revben=10 + 7 - 2=15
Tio kanter hör till prismats baser, och fem kanter bildas av rektanglar.
Hur ritar man ett femkantigt prisma?
Svaret på denna fråga beror på den specifika uppgiften. Om det är nödvändigt att rita ett godtyckligt prisma, bör varje femhörning ritas. Efter det, rita fem parallella segment av lika längd från varje vertex av femhörningen. Anslut sedan de övre ändarna av segmenten. Resultatet är ett femkantigt godtyckligt prisma.
Om det är nödvändigt att rita ett vanligt prisma, så handlar hela komplexiteten i uppgiften om att erhålla en vanlig femhörning. Det finns flera sätt att rita denna polygon. Här kommer vi bara att överväga två sätt.
Det första sättet är att rita en cirkel med en kompass. Därefter ritas en godtycklig diametercirkel och fem vinklar räknas från den med en gradskiva vid 72o(572o=360o). När man räknar varje vinkel görs ett hack på cirkeln. För att bygga en rektangel återstår att koppla ihop de markerade skårorna med raka segment.
Den andra metoden innebär att man bara använder en kompass och en linjal. Det är något komplext i jämförelse med det föregående. Nedan finns en video som förklarar i detalj varje steg i det här bygget.
Observera att det är lätt att rita en femhörning om du kopplar ihop stjärnans ändar. Om det inte är nödvändigt att rita en exakt vanlig femhörning, kan du använda den handritade stjärnmetoden.
Så snart femhörningen är ritad, rita fem identiska parallella segment från var och en av dess hörn och koppla ihop deras hörn. Resultatet är ett femkantigt prisma.
Formområde
Tänk nu på hur du hittar området för ett femkantigt prisma. Bilden nedan visar dess utveckling. Det kan ses att det erforderliga området bildas av två identiska femhörningar och fem rektanglar lika med varandra.
Arean av hela figurens yta uttrycks med formeln:
S=2So+ 5Sp
Här betyder indexen o och p basen respektive rektangeln. Låt oss beteckna längden på sidan av femhörningen som a, och höjden på figuren som h. Sedan skriver vi för rektangeln:
Sp=ah
För att beräkna arean av en femhörning,använd den universella formeln:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Där n är antalet sidor i polygonen. Genom att ersätta n=5 får vi:
S5=5/4a2ctg(pi/5) ≈ 1, 72a 2
Noggrannheten för den resulterande likheten är 3 decimaler, vilket är tillräckligt för att lösa eventuella problem.
Nu återstår att hitta summan av de erhållna ytorna av basen och sidoytan. Vi har:
S=21, 72a2 + 5ah=3, 44a2 + 5a h
Man bör komma ihåg att den resulterande formeln endast är giltig för ett rektangulärt prisma. I fallet med en sned figur hittas arean av dess sidoyta baserat på kunskapen om snittets omkrets, som måste vara vinkelrät mot alla parallellogram.
Volymen på figuren
Formeln för att beräkna volymen av ett femkantigt prisma skiljer sig inte från ett liknande uttryck för något annat prisma eller cylinder. Volymen av en figur är lika med produkten av dess höjd och arean av basen:
V=Soh
Om prismat i fråga är rektangulärt, är dess höjd längden på kanten som bildas av rektanglarna. Arean av en vanlig pentagon har beräknats ovan med hög noggrannhet. Ersätt detta värde i formeln för volym och få det nödvändiga uttrycket för ett regelbundet femkantigt prisma:
V=1, 72a2h
Beräknar alltså volym och ytaett regelbundet femkantigt prisma är möjligt om basens sida och figurens höjd är kända.
