Direkt triangulärt prisma. Formler för volym och yta. Lösning av ett geometriskt problem

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

I gymnasiet, efter att ha studerat egenskaperna hos figurer på planet, går de vidare till övervägandet av rumsliga geometriska objekt som prismor, sfärer, pyramider, cylindrar och koner. I den här artikeln kommer vi att ge den mest fullständiga beskrivningen av ett rakt triangulärt prisma.

Vad är ett triangulärt prisma?

Låt oss börja artikeln med definitionen av figuren, som kommer att diskuteras vidare. Ett prisma ur geometrins synvinkel är en figur i rymden bildad av två identiska n-goner belägna i parallella plan, vars samma vinklar är förbundna med raka linjesegment. Dessa segment kallas laterala revben. Tillsammans med basens sidor bildar de en sidoyta, som i allmänhet representeras av parallellogram.

Två n-goner är figurens baser. Om sidokanterna är vinkelräta mot dem, talar de om ett rakt prisma. Följaktligen, om antalet sidor n av polygonen vid baserna är tre, kallas en sådan figur ett triangulärt prisma.

Det triangulära raka prismat visas ovan i figuren. Denna figur kallas också regelbunden, eftersom dess baser är liksidiga trianglar. Längden på figurens sidokant, indikerad med bokstaven h i figuren, kallas dess höjd.

Figuren visar att ett prisma med en triangulär bas bildas av fem ytor, varav två är liksidiga trianglar och tre är identiska rektanglar. Förutom ytorna har prismat sex hörn vid baserna och nio kanter. Antalet betraktade element är relaterade till varandra genom Eulersatsen:

antal kanter=antal hörn + antal sidor - 2.

Area av ett rätvinkligt triangulärt prisma

Vi fick reda på ovan att figuren i fråga är bildad av fem ytor av två typer (två trianglar, tre rektanglar). Alla dessa ytor bildar prismats hela yta. Deras totala yta är figurens yta. Nedan visas ett triangulärt prisma som vecklas ut, som kan erhållas genom att först skära av två baser från figuren, och sedan skära längs ena kanten och vika ut sidoytan.

Låt oss ge formler för att bestämma ytarean för detta svep. Låt oss börja med baserna för ett rätvinkligt triangulärt prisma. Eftersom de representerar trianglar, kan området S_{3 för var och en av dem hittas enligt följande:}

S₃=1/2ah_a.

Här är a sidan av triangeln, h_{a är höjden sänkt från triangelns spets till denna sida.}

Om triangeln är liksidig (regelbunden), beror formeln för S_{3 endast på en parameter a. Det ser ut som:}

S₃=√3/4a^2.

Detta uttryck kan erhållas genom att betrakta en rätvinklig triangel som bildas av segmenten a, a/2, h_a.

Arean av baser S_o för en vanlig siffra är dubbelt så stor som S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

När det gäller den laterala ytarean S_{b, är det inte svårt att beräkna det. För att göra detta räcker det att multiplicera med tre arean av benrektangeln som bildas av sidorna a och h. Motsvarande formel är:}

S_b=3ah.

Arean för ett regelbundet prisma med en triangulär bas hittas alltså av följande formel:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 ah.}

Om prismat är rakt men oregelbundet, bör du för att beräkna dess area separat lägga till arean av rektanglar som inte är lika med varandra.

Bestämma volymen för en figur

Volymen av ett prisma förstås som det utrymme som begränsas av dess sidor (ytor). Att beräkna volymen av ett rätvinkligt triangulärt prisma är mycket lättare än att beräkna dess yta. För att göra detta räcker det att känna till området för basen och höjden på figuren. Eftersom höjden h för en rak figur är längden på dess sidokant, och hur man beräknar basarean, har vi angett i föregåendepunkt, då återstår det att multiplicera dessa två värden med varandra för att få önskad volym. Formeln för det blir:

V=S_3h.

Observera att produkten av arean av en bas och höjden ger volymen av inte bara ett rakt prisma, utan också en sned figur och till och med en cylinder.

Problemlösning

Triangulära prismor av glas används i optik för att studera spektrumet av elektromagnetisk strålning på grund av fenomenet dispersion. Det är känt att ett vanligt glasprisma har en bassidalängd på 10 cm och en kantlängd på 15 cm. Hur stor är arean på glasytorna och vilken volym innehåller den?

För att bestämma området använder vi formeln som är skriven i artikeln. Vi har:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 cm^2.

För att bestämma volymen V använder vi även formeln ovan:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

Trots att prismats kanter är 10 cm och 15 cm långa är figurens volym endast 0,65 liter (en kub med en sida på 10 cm har en volym på 1 liter).