Stereometri, som en gren av geometri i rymden, studerar egenskaperna hos prismor, cylindrar, kottar, kulor, pyramider och andra tredimensionella figurer. Den här artikeln ägnas åt en detaljerad genomgång av egenskaperna och egenskaperna hos en hexagonal regelbunden pyramid.
Vilken pyramid kommer att studeras
En vanlig sexkantig pyramid är en figur i rymden, som begränsas av en liksidig och likkantig sexhörning och sex identiska likbenta trianglar. Dessa trianglar kan också vara liksidiga under vissa förhållanden. Den här pyramiden visas nedan.
Samma figur visas här, bara i ett fall vänds den med sidoytan mot läsaren och i det andra - med sidokanten.
En vanlig sexkantig pyramid har 7 ansikten, som nämndes ovan. Den har också 7 hörn och 12 kanter. Till skillnad från prismor har alla pyramider en speciell vertex, som bildas av korsningen av den lateralatrianglar. För en vanlig pyramid spelar den en viktig roll, eftersom vinkelrät sänkt från den till basen av figuren är höjden. Vidare kommer höjden att betecknas med bokstaven h.
Den visade pyramiden kallas korrekt av två skäl:
- vid dess bas finns en hexagon med lika sidolängder a och lika vinklar på 120o;
- Höjden på pyramiden h skär sexhörningen exakt i dess centrum (skärningspunkten ligger på samma avstånd från alla sidor och från alla hörn av sexhörningen).
Yta
Egenskaper för en vanlig sexkantig pyramid kommer att beaktas från definitionen av dess område. För att göra detta är det först användbart att veckla ut figuren på ett plan. En schematisk representation av det visas nedan.
Det kan ses att svepets area, och därmed hela ytan på figuren i fråga, är lika med summan av ytorna av sex identiska trianglar och en hexagon.
För att bestämma arean av en hexagon S6, använd den universella formeln för en vanlig n-gon:
S=n/4a2ctg(pi/n)=>
S6=3√3/2a2.
Där a är längden på sidan av hexagonen.
Arean av en triangel S3 på sidosidan kan hittas om du vet värdet på dess höjd hb:
S3=1/2hba.
För att alla sextrianglar är lika med varandra, då får vi ett arbetsuttryck för att bestämma arean av en hexagonal pyramid med rätt bas:
S=S6+ 6S3=3√3/2a2 + 61/2hba=3a(√3/2a + hb).
Pyramidvolym
Precis som området är volymen av en sexkantig regelbunden pyramid dess viktiga egenskap. Denna volym beräknas med den allmänna formeln för alla pyramider och kottar. Låt oss skriva ner det:
V=1/3Soh.
Här är symbolen So arean av den hexagonala basen, dvs. So=S 6.
Genom att ersätta uttrycket ovan med S6 i formeln för V, kommer vi fram till den slutliga likheten för att bestämma volymen av en regelbunden sexkantig pyramid:
V=√3/2a2h.
Ett exempel på ett geometriskt problem
I en vanlig sexkantig pyramid är sidokanten dubbelt så lång som bassidan. Eftersom den senare är 7 cm, är det nödvändigt att beräkna ytan och volymen för denna figur.
Som du kanske kan gissa, innebär lösningen av detta problem användningen av uttrycken som erhållits ovan för S och V. Ändå kommer det inte att vara möjligt att använda dem direkt, eftersom vi inte känner till apotem och höjden på en vanlig sexkantig pyramid. Låt oss räkna ut dem.
Apotemet hb kan bestämmas genom att betrakta en rätvinklig triangel byggd på sidorna b, a/2 och hb. Här är b längden på sidokanten. Med hjälp av problemets tillstånd får vi:
hb=√(b2-a2/4)=√(14) 2-72/4)=13, 555 cm.
Pyramidens höjd h kan bestämmas på exakt samma sätt som en apotem, men nu bör vi betrakta en triangel med sidorna h, b och a, placerad inuti pyramiden. Höjden blir:
h=√(b2- a2)=√(142- 7 2)=12, 124 cm.
Det kan ses att det beräknade höjdvärdet är mindre än det för apotem, vilket är sant för vilken pyramid som helst.
Nu kan du använda uttryck för volym och area:
S=3a(√3/2a + hb)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm2;
V=√3/2a2h=√3/27212, 124=514, 48cm3.
För att otvetydigt bestämma någon egenskap hos en vanlig sexkantig pyramid måste du alltså känna till två av dess linjära parametrar.
