Arean av den laterala ytan av en vanlig fyrkantig pyramid: formler och exempel på problem

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

Typiska geometriska problem i planet och i det tredimensionella rummet är problemen med att bestämma ytareor för olika former. I den här artikeln presenterar vi formeln för arean av sidoytan på en vanlig fyrkantig pyramid.

Vad är en pyramid?

Låt oss ge en strikt geometrisk definition av en pyramid. Anta att det finns någon polygon med n sidor och n hörn. Vi väljer en godtycklig punkt i rymden som inte kommer att vara i planet för den angivna n-gonen, och kopplar den till varje hörn av polygonen. Vi kommer att få en figur som har en viss volym, som kallas en n-gonal pyramid. Låt oss till exempel visa i figuren nedan hur en femkantig pyramid ser ut.

Två viktiga delar av varje pyramid är dess bas (n-gon) och topp. Dessa element är förbundna med varandra med n trianglar, som i allmänhet inte är lika med varandra. Vinkelrät tappade fråntopp till botten kallas figurens höjd. Om den skär basen i det geometriska centrumet (sammanfaller med polygonens masscentrum), kallas en sådan pyramid en rak linje. Om basen förutom detta villkor är en vanlig polygon, kallas hela pyramiden regelbunden. Figuren nedan visar hur vanliga pyramider ser ut med triangulära, fyrkantiga, femkantiga och hexagonala baser.

Pyramidyta

Innan vi övergår till frågan om arean av sidoytan på en vanlig fyrkantig pyramid, bör vi uppehålla oss vid begreppet själva ytan.

Som nämnt ovan och visas i figurerna, bildas vilken pyramid som helst av en uppsättning ansikten eller sidor. En sida är basen och n sidor är trianglar. Hela figurens yta är summan av ytorna på var och en av dess sidor.

Det är bekvämt att studera ytan på exemplet på en figur som vecklas ut. En skanning av en vanlig fyrkantig pyramid visas i figurerna nedan.

Vi ser att dess yta är lika med summan av fyra areor av identiska likbenta trianglar och arean av en kvadrat.

Den totala arean av alla trianglar som bildar figurens sidor kallas arean av sidoytan. Därefter kommer vi att visa hur man beräknar det för en vanlig fyrkantig pyramid.

Arean av sidoytan på en fyrkantig regelbunden pyramid

För att beräkna arean av den lateralaytan av den angivna figuren, vänder vi oss igen till ovanstående skanning. Anta att vi känner till sidan av den kvadratiska basen. Låt oss beteckna det med symbolen a. Det kan ses att var och en av de fyra identiska trianglarna har en bas med längden a. För att beräkna deras totala yta måste du känna till detta värde för en triangel. Det är känt från geometrikursen att arean av en triangel S_{t är lika med produkten av basen och höjden, som ska delas på mitten. Det vill säga:}

S_t=1/2h_ba.

Där h_b är höjden på en likbent triangel ritad till basen a. För en pyramid är denna höjd apotem. Nu återstår att multiplicera det resulterande uttrycket med 4 för att få arean S_{b av sidoytan för pyramiden i fråga:}

S_b=4S_t=2h_ba.

Den här formeln innehåller två parametrar: apotem och sidan av basen. Om det senare är känt under de flesta förhållanden med problemen, måste det förra beräknas med andra kvantiteter. Här är formlerna för att beräkna apotema h_{b för två fall:}

• när längden på sidoribban är känd;
• när höjden på pyramiden är känd.

Om vi betecknar längden på sidokanten (sidan av en likbent triangel) med symbolen L, så bestäms apotema h_{b av formeln:}

h_b=√(L² - a^2/4).

Detta uttryck är resultatet av att tillämpa Pythagoras sats för sidoyttriangeln.

Om känthöjden h på pyramiden, då kan apotema h_{b beräknas enligt följande:}

h_b=√(h² + a^2/4).

Att få det här uttrycket är inte heller svårt om vi inuti pyramiden betraktar en rätvinklig triangel som bildas av benen h och a/2 och hypotenusan h_b.

Låt oss visa hur man tillämpar dessa formler genom att lösa två intressanta problem.

Problem med känd yta

Det är känt att den laterala ytan på en vanlig fyrkantig pyramid är 108 cm². Det är nödvändigt att beräkna värdet på längden på dess apotem h_{b, om pyramidens höjd är 7 cm.}

Låt oss skriva formeln för arean S_{b av sidoytan genom höjden. Vi har:}

S_b=2√(h² + a^{2/4) a.}

Här har vi precis ersatt motsvarande apotema-formel i uttrycket för S_{b. Låt oss kvadrera båda sidor av ekvationen:}

S_b²=4a²h² + a^4.

För att hitta värdet på a, låt oss ändra variablerna:

a2=t;

t²+ 4h²t - S_b ^2=0.

Vi ersätter nu de kända värdena och löser andragradsekvationen:

t2+ 196t - 11664=0.

t ≈ 47, 8355.

Vi skrev bara ut den positiva roten till denna ekvation. Då blir sidorna av pyramidens bas:

a=√t=√47.8355 ≈ 6.916 cm.

För att få längden på apotema,använd bara formeln:

h_b=√(h² + a²/4)=√(7) ²+ 6, 916^{2/4) ≈ 7, 808 se}

Sidoyta på Cheops-pyramiden

Bestämma värdet på den laterala ytan för den största egyptiska pyramiden. Det är känt att vid dess bas ligger en kvadrat med en sidolängd på 230.363 meter. Höjden på strukturen var ursprungligen 146,5 meter. Ersätt dessa siffror i motsvarande formel för S_{b, vi får:}

S_b=2√(h² + a²/4) a=2√(146, 5²+230, 363²/4)230, 363 ≈ 85860 m^2.

Det hittade värdet är något större än arean på 17 fotbollsplaner.