Ganska ofta inom matematisk vetenskap finns det ett antal svårigheter och frågor, och många av svaren är inte alltid tydliga. Inget undantag var ett sådant ämne som uppsättningarnas kardinalitet. I själva verket är detta inget annat än ett numeriskt uttryck för antalet objekt. I en allmän mening är en mängd ett axiom, det har ingen definition. Den är baserad på alla objekt, eller snarare deras uppsättning, som kan vara tomma, ändliga eller oändliga. Dessutom innehåller den heltal eller naturliga tal, matriser, sekvenser, segment och linjer.
Om befintliga variabler
En null eller tom mängd utan något egenvärde anses vara ett kardinalelement eftersom det är en delmängd. Samlingen av alla delmängder av en icke-tom uppsättning S är en uppsättning uppsättningar. Således anses kraftmängden för en given mängd vara många, tänkbara, men enstaka. Denna mängd kallas potensmängden S och betecknas med P (S). Om S innehåller N element, så innehåller P(S) 2^n delmängder, eftersom en delmängd av P(S) är antingen ∅ eller en delmängd som innehåller r element från S, r=1, 2, 3, … Sammansatt av allt oändligtmängd M kallas en effektstorhet och betecknas symboliskt med P (M).
Elements of set theory
Detta kunskapsområde utvecklades av George Cantor (1845-1918). Idag används det i nästan alla grenar av matematiken och fungerar som dess grundläggande del. I mängdlära representeras element i form av en lista och ges av typer (tom mängd, singleton, finita och oändliga mängder, lika och ekvivalenta, universella), union, skärningspunkt, skillnad och addition av tal. Till vardags pratar vi ofta om en samling föremål som ett nyckelknippe, en flock fåglar, ett paket kort etc. I matematik årskurs 5 och framåt finns naturliga tal, heltal, primtal och sammansatta tal.
Följande uppsättningar kan övervägas:
- naturliga nummer;
- bokstäver i alfabetet;
- primära odds;
- trianglar med olika sidor.
Det kan ses att dessa specificerade exempel är väldefinierade uppsättningar av objekt. Tänk på några fler exempel:
- fem mest kända vetenskapsmän i världen;
- sju vackra flickor i samhället;
- tre bästa kirurger.
Dessa kardinalitetsexempel är inte väldefinierade samlingar av föremål, eftersom kriterierna för "mest känd", "vackraste", "bäst" varierar från person till person.
Set
Detta värde är ett väldefinierat antal olika objekt. Förutsatt att:
- orduppsättning är en synonym, aggregat, klass och innehåller element;
- objekt, medlemmar är lika villkor;
- uppsättningar betecknas vanligtvis med versaler A, B, C;
- set element representeras av små bokstäver a, b, c.
Om "a" är ett element i mängden A, så sägs det att "a" tillhör A. Låt oss beteckna frasen "hör till" med det grekiska tecknet "∈" (epsilon). Det visar sig alltså att a ∈ A. Om 'b' är ett element som inte tillhör A, representeras detta som b ∉ A. Några viktiga mängder som används i matematik i årskurs 5 representeras med följande tre metoder:
- applikationer;
- register eller tabeller;
- regel för att skapa en formation.
Vid närmare granskning baseras ansökningsformuläret på följande. I det här fallet ges en tydlig beskrivning av elementen i uppsättningen. De är alla inneslutna i lockiga hängslen. Till exempel:
- uppsättning udda tal mindre än 7 - skrivet som {mindre än 7};
- en uppsättning nummer större än 30 och mindre än 55;
- antal elever i en klass som väger mer än läraren.
I registerformuläret (tabell) är elementen i en uppsättning listade inom ett par parenteser {} och separerade med kommatecken. Till exempel:
- Låt N beteckna mängden av de första fem naturliga talen. Därför är N=→ registreringsformulär
- Uppsättning av alla vokaler i det engelska alfabetet. Därför V={a, e, i, o, u, y} → registreringsformulär
- Mängden av alla udda tal är mindre än 9. Därför är X={1, 3, 5, 7} → formregister
- Uppsättning av alla bokstäver i ordet "Math". Därför är Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Registerformulär
- W är uppsättningen av årets sista fyra månader. Därför är W={september, oktober, november, december} → register.
Observera att ordningen som elementen listas i inte spelar någon roll, men de får inte upprepas. En etablerad form av konstruktion, i ett givet fall, en regel, formel eller operator skrivs inom ett par parenteser så att mängden är korrekt definierad. I uppsättningsbyggarens formulär måste alla element ha samma egenskap för att bli medlem av värdet i fråga.
I denna form av mängdrepresentation beskrivs ett element i mängden med tecknet "x" eller någon annan variabel följt av ett kolon (":" eller "|" används för att indikera). Låt till exempel P vara uppsättningen av räknebara tal större än 12. P i uppsättningsbyggarens form skrivs som - {räknebart antal och större än 12}. Den kommer att läsas på ett visst sätt. Det vill säga "P är en uppsättning av x element så att x är räknebart och större än 12."
Löst exempel med tre metoder för uppsättningsrepresentation: antal heltal mellan -2 och 3. Nedan finns exempel på olika typer av uppsättningar:
- En tom eller nolluppsättning som inte innehåller något element och betecknas med symbolen ∅ och läses som phi. I listform skrivs ∅ {}. Den ändliga mängden är tom eftersom antalet element är 0. Till exempel är mängden heltalsvärden mindre än 0.
- Självklart ska det inte finnas <0. Därför dettatom uppsättning.
- En uppsättning som bara innehåller en variabel kallas en entonmängd. Är varken enkel eller sammansatt.
Finite set
En mängd som innehåller ett visst antal element kallas en finit eller oändlig mängd. Tom hänvisar till den första. Till exempel en uppsättning av alla färger i regnbågen.
Infinity är en uppsättning. Elementen i den kan inte räknas upp. Det vill säga att innehålla liknande variabler kallas en oändlig mängd. Exempel:
- styrkan för uppsättningen av alla punkter i planet;
- uppsättning av alla primtal.
Men du bör förstå att alla kardinaliteter i föreningen av en uppsättning inte kan uttryckas i form av en lista. Till exempel reella tal, eftersom deras element inte motsvarar något speciellt mönster.
Kardinalnumret för en mängd är antalet olika element i en given kvantitet A. Det betecknas n (A).
Till exempel:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Därför är n (A)=4.
- B=uppsättning bokstäver i ordet ALGEBRA.
Ekvivalenta uppsättningar för jämförelse av uppsättningar
Två kardinaliteter i en mängd A och B är sådana om deras kardinalnummer är detsamma. Symbolen för motsvarande uppsättning är "↔". Till exempel: A ↔ B.
Lika mängder: två kardinaliteter av mängderna A och B om de innehåller samma element. Varje koefficient från A är en variabel från B, och var och en av B är det angivna värdet av A. Därför är A=B. De olika typerna av kardinalitetsförbund och deras definitioner förklaras med hjälp av de angivna exemplen.
Ändens och oändlighetens väsen
Vilka är skillnaderna mellan kardinaliteten för en finit mängd och en oändlig mängd?
Det första värdet har följande namn om det antingen är tomt eller har ett ändligt antal element. I en finit mängd kan en variabel specificeras om den har ett begränsat antal. Till exempel genom att använda det naturliga talet 1, 2, 3. Och listningsprocessen slutar vid något N. Antalet olika element som räknas i den finita mängden S betecknas med n (S). Det kallas också ordning eller kardinal. Symboliskt betecknad enligt standardprincipen. Således, om mängden S är det ryska alfabetet, innehåller den 33 element. Det är också viktigt att komma ihåg att ett element inte förekommer mer än en gång i en uppsättning.
Oändligt i uppsättningen
En mängd kallas oändlig om elementen inte kan räknas upp. Om den har ett obegränsat (det vill säga oräkneligt) naturligt tal 1, 2, 3, 4 för vilket n som helst. En mängd som inte är ändlig kallas oändlig. Vi kan nu diskutera exempel på de numeriska värden som övervägs. Slutvärdes alternativ:
- Låt Q={naturliga tal mindre än 25}. Då är Q en finit mängd och n (P)=24.
- Låt R={heltal mellan 5 och 45}. Då är R en finit mängd och n (R)=38.
- Låt S={numbers modulo 9}. Då S={-9, 9} är en finit mängd och n (S)=2.
- Set av alla människor.
- Antal alla fåglar.
Oändliga exempel:
- antal befintliga punkter på planet;
- antal av alla punkter i linjesegmentet;
- uppsättningen positiva heltal som är delbar med 3 är oändlig;
- alla hela och naturliga tal.
Av ovanstående resonemang är det alltså tydligt hur man skiljer mellan finita och oändliga mängder.
Power of the continuum set
Om vi jämför uppsättningen och andra befintliga värden, bifogas ett tillägg till uppsättningen. Om ξ är universell och A är en delmängd av ξ, så är komplementet till A antalet av alla element i ξ som inte är element i A. Symboliskt är komplementet till A med avseende på ξ A'. Till exempel är 2, 4, 5, 6 de enda elementen i ξ som inte tillhör A. Därför är A'={2, 4, 5, 6}
En uppsättning med kardinalitetskontinuum har följande funktioner:
- komplement till den universella kvantiteten är det tomma värdet i fråga;
- denna nolluppsättningsvariabel är universell;
- belopp och dess komplement är osammanhängande.
Till exempel:
- Låt antalet naturliga tal vara en universell mängd och A vara jämnt. Sedan är A '{x: x en udda mängd med samma siffror}.
- Låt ξ=uppsättning bokstäver i alfabetet. A=uppsättning konsonanter. Sedan A '=antal vokaler.
- Komplementet till den universella uppsättningen är den tomma kvantiteten. Kan betecknas med ξ. Då ξ '=Mängden av de element som inte ingår i ξ. Den tomma mängden φ skrivs och betecknas. Därför ξ=φ. Således är komplementet till den universella uppsättningen tom.
I matematik används "kontinuum" ibland för att representera en riktig linje. Och mer allmänt, för att beskriva liknande objekt:
- kontinuum (i mängdlära) - reell linje eller motsvarande kardinalnummer;
- linjär - alla ordnade uppsättningar som delar vissa egenskaper hos en riktig linje;
- continuum (i topologi) - icke-tomt kompakt anslutet metriskt utrymme (ibland Hausdorff);
- hypotesen att inga oändliga mängder är större än heltal men mindre än reella tal;
- kontinuumets potens är ett kardin altal som representerar storleken på uppsättningen reella tal.
I huvudsak ett kontinuum (mätning), teorier eller modeller som förklarar gradvisa övergångar från ett tillstånd till ett annat utan någon abrupt förändring.
Problem med fackförening och korsning
Det är känt att skärningspunkten mellan två eller flera uppsättningar är talet som innehåller alla element som är vanliga i dessa värden. Orduppgifter på mängder löses för att få grundläggande idéer om hur man använder förenings- och skärningsegenskaper för mängder. Löste de viktigaste problemen med ord påset ser ut så här:
Låt A och B vara två ändliga mängder. De är sådana att n (A)=20, n (B)=28 och n (A ∪ B)=36, hitta n (A ∩ B)
Relation i set med Venn-diagram:
- Föreningen av två uppsättningar kan representeras av ett skuggat område som representerar A ∪ B. A ∪ B när A och B är disjunkta uppsättningar.
- Skärningspunkten mellan två uppsättningar kan representeras av ett Venn-diagram. Med skuggat område som representerar A ∩ B.
- Skillnaden mellan de två uppsättningarna kan representeras av Venn-diagram. Med ett skuggat område som representerar A - B.
- Släktskap mellan tre uppsättningar med hjälp av ett Venn-diagram. Om ξ representerar en universell storhet är A, B, C tre delmängder. Här överlappar alla tre seten.
Summering set information
Kardinaliteten för en uppsättning definieras som det totala antalet individuella element i uppsättningen. Och det senast angivna värdet beskrivs som antalet av alla delmängder. När man studerar sådana frågor krävs metoder, metoder och lösningar. Så, för en uppsättnings kardinalitet, kan följande exempel fungera som:
Låt A={0, 1, 2, 3}| |=4, där | A | representerar kardinalitet för set A.
Nu kan du hitta ditt kraftpaket. Det är ganska enkelt också. Som redan nämnts sätts effektmängden från alla delmängder av ett givet tal. Så man bör i princip definiera alla variabler, element och andra värden av A,som är {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}.
Nu räkna ut P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} som har 16 element. Således är kardinalitet av mängden A=16. Uppenbarligen är detta en tråkig och besvärlig metod för att lösa detta problem. Det finns dock en enkel formel genom vilken du direkt kan veta antalet element i potensmängden för ett givet tal. | P |=2 ^ N, där N är antalet element i vissa A. Denna formel kan erhållas med hjälp av enkel kombinatorik. Så frågan är 2^11 eftersom antalet element i mängd A är 11.
Så, en uppsättning är vilken numeriskt uttryckt kvantitet som helst, som kan vara vilket möjligt objekt som helst. Till exempel bilar, människor, siffror. I matematisk mening är detta begrepp bredare och mer generaliserat. Om i de inledande stadierna siffrorna och alternativen för deras lösning sorteras ut, så är förutsättningarna och uppgifterna komplicerade i mitten och högre stadier. Faktum är att kardinaliteten av föreningen av en uppsättning bestäms av objektets tillhörighet till vilken grupp som helst. Det vill säga att ett element tillhör en klass, men har en eller flera variabler.
