När man studerar absolut vilken rumslig figur som helst, är det viktigt att veta hur man beräknar dess volym. Den här artikeln tillhandahåller en formel för volymen av en vanlig fyrkantig pyramid och visar också hur den här formeln ska användas med hjälp av ett exempel på att lösa problem.
Vilken pyramid pratar vi om?
Varje gymnasieelev vet att en pyramid är en polyeder som består av trianglar och en polygon. Det senare är basen i figuren. Trianglar har en gemensam sida med basen och skär varandra i en enda punkt, som är toppen av pyramiden.
Varje pyramid kännetecknas av längden på basens sidor, längden på sidokanterna och höjden. Det senare är ett vinkelrät segment, sänkt till basen från toppen av figuren.
En vanlig fyrkantig pyramid är en figur med en kvadratisk bas, vars höjd skär denna kvadrat i dess mitt. Det kanske mest kända exemplet på denna typ av pyramider är de gamla egyptiska stenstrukturerna. Nedan är ett fotoCheops pyramider.
Figuren som studeras har fem ansikten, varav fyra är identiska likbenta trianglar. Den kännetecknas också av fem hörn, varav fyra hör till basen, och åtta kanter (4 kanter på basen och 4 kanter på sidoytorna).
Formeln för volymen av en fyrkantig pyramid är korrekt
Volymen på figuren i fråga är en del av utrymmet som begränsas av fem sidor. För att beräkna denna volym använder vi följande beroende av arean av en skiva parallellt med basen av pyramiden Sz på den vertikala koordinaten z:
Sz=So (h - z/h)2
Här So är arean av den kvadratiska basen. Om vi ersätter z=h i det skrivna uttrycket får vi ett nollvärde för Sz. Detta värde på z motsvarar en skiva som bara kommer att innehålla toppen av pyramiden. Om z=0 får vi värdet på basarean So.
Det är lätt att hitta volymen av en pyramid om du kan funktionen Sz(z), för detta räcker det att skära figuren till ett oändligt antal av skikt parallella med basen, och utför sedan integrationsoperationen. Jag följer den här tekniken, vi får:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0h.
För att S0 ärarean av kvadratbasen, då vi betecknar sidan av kvadraten med bokstaven a, får vi formeln för volymen av en vanlig fyrkantig pyramid:
V=1/3a2h.
Nu ska vi använda exempel på problemlösning för att visa hur detta uttryck ska tillämpas.
Problemet med att bestämma volymen av en pyramid genom dess apotem och sidokant
Apotemet för en pyramid är höjden på dess laterala triangel, som är sänkt till sidan av basen. Eftersom alla trianglar är lika i en vanlig pyramid kommer deras apotemer också att vara desamma. Låt oss beteckna dess längd med symbolen hb. Beteckna sidokanten som b.
När du vet att pyramidens apotem är 12 cm och dess sidokant är 15 cm, hitta volymen av en vanlig fyrkantig pyramid.
Formeln för figurens volym som skrevs i föregående stycke innehåller två parametrar: sidlängd a och höjd h. För tillfället känner vi inte till någon av dem, så låt oss ta en titt på deras beräkningar.
Längden på sidan av en kvadrat a är lätt att beräkna om du använder Pythagoras sats för en rätvinklig triangel, där hypotenusan är kanten b, och benen är apotemet h b och halva sidan av basen a/2. Vi får:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Genom att ersätta de kända värdena från villkoret får vi värdet a=18 cm.
För att beräkna höjden h på pyramiden kan du göra två saker: överväga en rektangulären triangel med en hypotenusa-lateral kant eller med en hypotenusa-apotem. Båda metoderna är lika och involverar utförandet av samma antal matematiska operationer. Låt oss uppehålla oss vid betraktandet av en triangel, där hypotenusan är apotem hb. Benen i den kommer att vara h och a / 2. Då får vi:
h=√(hb2-a2/4)=√(12) 2- 182/4)=7, 937 cm.
Nu kan du använda formeln för volym V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Volymen för en vanlig fyrkantig pyramid är alltså ungefär 0,86 liter.
Keopspyramidens volym
Låt oss nu lösa ett intressant och praktiskt viktigt problem: hitta volymen på den största pyramiden i Giza. Det är känt från litteraturen att byggnadens ursprungliga höjd var 146,5 meter och längden på dess bas är 230,363 meter. Dessa siffror tillåter oss att använda formeln för att beräkna V. Vi får:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Det resulterande värdet är nästan 2,6 miljoner m3. Denna volym motsvarar volymen av en kub vars sida är 137,4 meter.
