Beräkning av volymer av rumsliga figurer är en av stereometrins viktiga uppgifter. I den här artikeln kommer vi att överväga frågan om att bestämma volymen av en sådan polyeder som en pyramid, och även ge formeln för volymen av en vanlig sexkantig pyramid.
hexagonal pyramid
Låt oss först titta på vad siffran är, som kommer att diskuteras i artikeln.
Låt oss ha en godtycklig hexagon vars sidor inte nödvändigtvis är lika med varandra. Anta också att vi har v alt en punkt i rymden som inte är i hexagonens plan. Genom att ansluta alla hörn av den senare med den valda punkten får vi en pyramid. Två olika pyramider med hexagonal bas visas i figuren nedan.
Det kan ses att figuren förutom hexagonen består av sex trianglar, vars anslutningspunkt kallas vertex. Skillnaden mellan de avbildade pyramiderna är att höjden h till höger om dem inte skär den hexagonala basen i dess geometriska centrum, och höjden på den vänstra figuren fallermitt i mitten. Tack vare detta kriterium kallades den vänstra pyramiden rak och den högra - sned.
Eftersom basen på den vänstra figuren i figuren bildas av en sexkant med lika sidor och vinklar kallas den korrekt. Längre fram i artikeln kommer vi bara att prata om denna pyramid.
Volymen av den sexkantiga pyramiden
Följande formel är giltig för att beräkna volymen av en godtycklig pyramid:
V=1/3hSo
Här är h längden på figurens höjd, So är arean av dess bas. Låt oss använda det här uttrycket för att bestämma volymen av en regelbunden sexkantig pyramid.
Eftersom siffran i fråga är baserad på en liksidig hexagon, för att beräkna dess area, kan du använda följande allmänna uttryck för en n-gon:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Här är n ett heltal lika med antalet sidor (hörn) av polygonen, a är längden på dess sida, cotangensfunktionen beräknas med hjälp av lämpliga tabeller.
Genom att använda uttrycket för n=6 får vi:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Nu återstår det att ersätta detta uttryck med den allmänna formeln för volymen V:
V6=S6h=√3/2ha2
För att beräkna volymen av den aktuella pyramiden är det därför nödvändigt att känna till dess två linjära parametrar: längden på sidan av basen och höjden på figuren.
Exempel på problemlösning
Låt oss visa hur det erhållna uttrycket för V6 kan användas för att lösa följande problem.
Det är känt att volymen för en vanlig sexkantig pyramid är 100 cm3. Det är nödvändigt att bestämma sidan av basen och höjden på figuren, om det är känt att de är relaterade till varandra genom följande likhet:
a=2h
Eftersom endast a och h ingår i formeln för volym, kan någon av dessa parametrar ersättas i den, uttryckt i termer av den andra. Om du till exempel byter ut a får vi:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
För att hitta värdet på höjden på en figur måste du ta roten av tredje graden från volymen, som motsvarar längddimensionen. Vi ersätter volymvärdet V6 för pyramiden från problemformuleringen, vi får höjden:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm
Eftersom sidan av basen, i enlighet med problemets tillstånd, är dubbelt så mycket som det hittade värdet, får vi värdet för det:
a=2h=23, 0676=6, 1352cm
Volymen av en sexkantig pyramid kan hittas inte bara genom höjden på figuren och värdet på sidan av dess bas. Det räcker att känna till två olika linjära parametrar för pyramiden för att beräkna den, till exempel apotema och längden på sidokanten.
