Inom geometrin används två viktiga egenskaper för att studera figurer: längderna på sidorna och vinklarna mellan dem. I fallet med rumsliga figurer läggs dihedriska vinklar till dessa egenskaper. Låt oss överväga vad det är och även beskriva metoden för att bestämma dessa vinklar med hjälp av exemplet på en pyramid.
Begreppet dihedral vinkel
Alla vet att två skärande linjer bildar en vinkel med spetsen vid skärningspunkten. Denna vinkel kan mätas med en gradskiva, eller så kan du använda trigonometriska funktioner för att beräkna den. Vinkeln som bildas av två räta vinklar kallas linjär.
Föreställ dig nu att i det tredimensionella rummet finns två plan som skär varandra i en rät linje. De visas på bilden.
En dihedrisk vinkel är vinkeln mellan två skärande plan. Precis som linjär mäts den i grader eller radianer. Om till någon punkt på linjen längs vilken planen skär, återställ två vinkelräta,ligger i dessa plan, då blir vinkeln mellan dem den önskade dihedralen. Det enklaste sättet att bestämma denna vinkel är att använda de allmänna ekvationerna för plan.
Ekvationen för plan och formeln för vinkeln mellan dem
Ekvationen för alla plan i rymden i allmänna termer skrivs enligt följande:
A × x + B × y + C × z + D=0.
Här är x, y, z koordinaterna för punkter som hör till planet, koefficienterna A, B, C, D är några kända tal. Bekvämligheten med denna likhet för att beräkna dihedriska vinklar är att den explicit innehåller koordinaterna för planets riktningsvektor. Vi kommer att beteckna det med n¯. Sedan:
n¯=(A; B; C).
Vektorn n¯ är vinkelrät mot planet. Vinkeln mellan två plan är lika med vinkeln mellan deras riktningsvektorer n1¯ och n2¯. Det är känt från matematiken att vinkeln som bildas av två vektorer bestäms unikt från deras skalära produkt. Detta låter dig skriva en formel för att beräkna den dihedriska vinkeln mellan två plan:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|)).
Om vi ersätter vektorernas koordinater kommer formeln att skrivas explicit:
φ=arccos (|A1 × A2 + B1 × B 2 + C1 × C2| / (√(A1 2 + B12 + C12 ) × √(A22+B22 + C22))).
Modulotecknet i täljaren används för att endast definiera en spetsig vinkel, eftersom en dihedrisk vinkel alltid är mindre än eller lika med 90o.
Pyramid och dess hörn
Pyramid är en figur som bildas av en n-gon och n trianglar. Här är n ett heltal lika med antalet sidor i polygonen som är pyramidens bas. Denna rumsliga figur är en polyeder eller polyeder, eftersom den består av plana ytor (sidor).
De tvåsidiga vinklarna för en pyramid-polyeder kan vara av två typer:
- mellan bas och sida (triangel);
- mellan två sidor.
Om pyramiden anses vara regelbunden är det lätt att bestämma de namngivna vinklarna för den. För att göra detta, med hjälp av koordinaterna för tre kända punkter, bör man komponera en ekvation av plan och sedan använda formeln som ges i stycket ovan för vinkeln φ.
Nedan ger vi ett exempel där vi visar hur man hittar dihedriska vinklar vid basen av en fyrkantig regelbunden pyramid.
En fyrkantig regelbunden pyramid och en vinkel vid dess bas
Anta att en vanlig pyramid med kvadratisk bas är given. Längden på sidan av kvadraten är a, höjden på figuren är h. Hitta vinkeln mellan pyramidens bas och dess sida.
Låt oss placera ursprunget för koordinatsystemet i mitten av torget. Därefter punkternas koordinaterA, B, C, D som visas på bilden kommer att vara:
A=(a/2; -a/2; 0);
B=(a/2; a/2; 0);
C=(-a/2; a/2; 0);
D=(0; 0; h).
Tänk på planen ACB och ADB. Uppenbarligen kommer riktningsvektorn n1¯ för ACB-planet att vara:
1¯=(0; 0; 1).
För att bestämma riktningsvektorn n2¯ för ADB-planet, fortsätt enligt följande: hitta två godtyckliga vektorer som hör till det, till exempel AD¯ och AB¯, beräkna sedan deras vektorarbete. Resultatet kommer att ge koordinaterna n2¯. Vi har:
AD¯=D - A=(0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0)=(-a/2; a/2; h);
AB¯=B - A=(a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0)=(0; a; 0);
2¯=[AD¯ × AB¯]=[(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)]=(-a × h; 0;-a2/2).
Eftersom multiplikation och division av en vektor med ett tal inte ändrar dess riktning, transformerar vi den resulterande n2¯, och dividerar dess koordinater med -a, får vi:
2¯=(h; 0; a/2).
Vi har definierat vektorguider n1¯ och n2¯ för ACB:s bas- och ADB-sidoplan. Det återstår att använda formeln för vinkeln φ:
φ=arccos (|(n1¯ × n2¯)| / (|n1 ¯| × |n2¯|))=arccos (a / (2 × √h2 + a 2/4)).
Omvandla det resulterande uttrycket och skriv om det så här:
φ=arccos (a / √(a2+ 4 × h2)).
Vi har fått formeln för den dihedriska vinkeln vid basen för en vanlig fyrkantig pyramid. Genom att känna till figurens höjd och längden på dess sida kan du beräkna vinkeln φ. Till exempel, för Cheops-pyramiden, vars bassida är 230,4 meter, och den ursprungliga höjden var 146,5 meter, kommer vinkeln φ att vara 51,8o.
Det är också möjligt att bestämma dihedrisk vinkel för en fyrkantig regelbunden pyramid med den geometriska metoden. För att göra detta räcker det att betrakta en rätvinklig triangel som bildas av höjden h, halva längden av basen a/2 och apotem av en likbent triangel.
