Varje elev i studien av stereometri på gymnasiet stötte på en kon. Två viktiga egenskaper hos denna rumsliga figur är yta och volym. I den här artikeln kommer vi att visa hur man hittar volymen på en rund kon.
Rund kon som en rotationsfigur av en rätvinklig triangel
Innan du går direkt till ämnet för artikeln är det nödvändigt att beskriva konen ur en geometrisk synvinkel.
Låt det bli en rätvinklig triangel. Om du roterar den runt något av benen blir resultatet av denna åtgärd den önskade figuren, som visas i figuren nedan.
Här är ben AB en del av konens axel, och dess längd motsvarar figurens höjd. Det andra benet (segment CA) kommer att vara konens radie. Under rotation kommer den att beskriva en cirkel som begränsar figurens bas. Hypotenusan BC kallas figurens generatris, eller dess generatris. Punkt B är den enda spetsen på konen.
Med tanke på egenskaperna hos triangeln ABC kan vi skriva sambandet mellan generatrisen g, radien r och höjden h enligt följandejämlikhet:
g2=h2+ r2
Denna formel är användbar för att lösa många geometriska problem med figuren i fråga.
Konvolymformel
Volymen för varje rumslig figur är arean av rymden, som begränsas av denna figurs ytor. Det finns två sådana ytor för en kon:
- Lateral eller konisk. Den bildas av alla generatriser.
- Foundation. I det här fallet är det en cirkel.
Hämta formeln för att bestämma volymen på en kon. För att göra detta skär vi det ment alt i många lager parallellt med basen. Vart och ett av lagren har en tjocklek dx, som tenderar mot noll. Arean Sx av lagret på ett avstånd x från toppen av figuren är lika med följande uttryck:
Sx=pir2x2/h 2
Giltigheten av detta uttryck kan verifieras intuitivt genom att ersätta värdena x=0 och x=h. I det första fallet får vi en area lika med noll, i det andra fallet är den lika med arean på den runda basen.
För att bestämma konens volym måste du lägga ihop små "volymer" av varje lager, det vill säga du ska använda integralkalkylen:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
Vi beräknar denna integral och kommer fram till den slutliga formeln för en rund kon:
V=1/3pir2h
Det är intressant att notera att denna formel är helt lik den som används för att beräkna volymen av en godtycklig pyramid. Detta sammanträffande är inte av misstag, eftersom varje pyramid blir en kon när antalet kanter ökar till oändlighet.
Volymberäkningsproblem
Det är användbart att ge ett exempel på hur man löser problemet, vilket kommer att demonstrera användningen av den härledda formeln för volymen V.
Ges en rund kon vars basarea är 37 cm2, och figurens generator är tre gånger radien. Vilken volym har konen?
Vi har rätt att använda volymformeln om vi känner till två storheter: höjden h och radien r. Låt oss hitta formlerna som bestämmer dem i enlighet med problemets tillstånd.
Radius r kan beräknas genom att känna till arean av cirkeln So, vi har:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
Med hjälp av problemets tillstånd skriver vi likheten för generatorn g:
g=3r=3√(So/pi)
Genom att känna till formlerna för r och g, beräkna höjden h:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
Vi hittade alla nödvändiga parametrar. Nu är det dags att koppla in dem i formeln för V:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Det återstår att ersättabasarea So och beräkna volymvärdet: V=119,75 cm3.
