Studeringen av egenskaperna hos rumsliga figurer spelar en viktig roll för att lösa praktiska problem. Vetenskapen som sysslar med figurer i rymden kallas stereometri. I den här artikeln, ur solid geometris synvinkel, kommer vi att överväga en kon och visa hur man hittar arean av en kon.
Kon med rund bas
I det allmänna fallet är en kon en yta byggd på någon plan kurva, vars alla punkter är förbundna med segment med en punkt i rymden. Den senare kallas konens spets.
Från ovanstående definition är det tydligt att en kurva kan ha en godtycklig form, såsom parabolisk, hyperbolisk, elliptisk, och så vidare. Ändå är det i praktiken och i geometriproblem ofta en rund kon som man ofta stöter på. Det visas på bilden nedan.
Här betecknar symbolen r radien för cirkeln som ligger vid basen av figuren, h är vinkelrät mot cirkelns plan, som ritas från toppen av figuren. Det kallas höjd. Värdet s är konens generatris, eller dess generatris.
Det kan ses att segmenten r, h och sbildar en rätvinklig triangel. Om den roteras runt benet h, kommer hypotenusan s att beskriva den koniska ytan, och benet r bildar den runda basen av figuren. Av denna anledning anses konen vara en rotationsfigur. De tre namngivna linjära parametrarna är sammankopplade av likheten:
s2=r2+ h2
Observera att den angivna likheten endast gäller för en rund rak kon. En rak figur är endast om dess höjd faller exakt i mitten av bascirkeln. Om detta villkor inte är uppfyllt kallas figuren sned. Skillnaden mellan raka och sneda koner visas i figuren nedan.
Formutveckling
Att studera ytan på en kon är bekvämt att utföra, med tanke på det på ett plan. Detta sätt att representera figurernas yta i rymden kallas deras utveckling. För en kon kan denna utveckling erhållas enligt följande: du måste ta en figur gjord, till exempel av papper. Klipp sedan av den runda basen runt omkretsen med en sax. Efter det, längs generatrisen, gör du ett snitt av den koniska ytan och gör den till ett plan. Resultatet av dessa enkla operationer blir utvecklingen av konen, som visas i figuren nedan.
Som du kan se kan ytan på en kon verkligen representeras på ett plan. Den består av följande två delar:
- cirkel med radien r som representerar figurens bas;
- cirkulär sektor med radie g, som är en konisk yta.
Formeln för arean av en kon går ut på att hitta områdena för båda ovikta ytorna.
Beräkna ytarean på en figur
Låt oss dela upp uppgiften i två steg. Först hittar vi arean av konens bas, sedan arean av den koniska ytan.
Den första delen av problemet är lätt att lösa. Eftersom radien r är given räcker det att återkalla motsvarande uttryck för arean av en cirkel för att beräkna arean av basen. Låt oss skriva ner det:
So=pi × r2
Om radien inte är känd, bör du först hitta den med hjälp av relationsformeln mellan den, höjden och generatorn.
Den andra delen av problemet med att hitta arean för en kon är något mer komplicerad. Observera att den cirkulära sektorn är byggd på radien g av generatrisen och är begränsad av en båge vars längd är lika med cirkelns omkrets. Detta faktum låter dig skriva ner proportionen och hitta vinkeln för den övervägda sektorn. Låt oss beteckna det med den grekiska bokstaven φ. Denna vinkel kommer att vara lika med:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
När du känner till den centrala vinkeln φ för en cirkulär sektor kan du använda lämplig proportion för att hitta dess area. Låt oss beteckna det med symbolen Sb. Det kommer att vara lika med:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
Det vill säga, arean av den koniska ytan motsvarar produkten av generatrisen g, radien för basen r och talet Pi.
Veta vad områdena för bådaMed tanke på ytor kan vi skriva den slutliga formeln för arean av en kon:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
Det skrivna uttrycket förutsätter kunskap om två linjära parametrar för konen för att beräkna S. Om g eller r är okända, kan de hittas genom höjden h.
Problemet med att beräkna arean av en kon
Det är känt att höjden på en rund rak kon är lika med dess diameter. Det är nödvändigt att beräkna arean av figuren, med vetskapen om att arean av bitars bas är 50 cm2.
När du känner till arean av en cirkel kan du hitta figurens radie. Vi har:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Låt oss nu hitta generatorn g i termer av h och r. Enligt villkoret är figurens höjd h lika med två radier r, då:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
De hittade formlerna för g och r bör ersättas med uttrycket för hela arean av konen. Vi får:
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
I det resulterande uttrycket ersätter vi arean av basen So och skriver ner svaret: S ≈ 161,8 cm2.
