En av figurerna som uppstår när man löser geometriska problem i rymden är en kon. Det, till skillnad från polyedrar, tillhör klassen av rotationsfigurer. Låt oss i artikeln överväga vad som menas med det i geometri, och utforska egenskaperna hos olika sektioner av konen.
Kon i geometri
Anta att det finns en kurva på planet. Det kan vara en parabel, en cirkel, en ellips och så vidare. Ta en punkt som inte tillhör det angivna planet och anslut alla punkter i kurvan till det. Den resulterande ytan kallas en kon eller helt enkelt en kon.
Om den ursprungliga kurvan är stängd kan den koniska ytan fyllas med materia. Figuren som erhålls på detta sätt är en tredimensionell kropp. Det kallas också en kon. Flera papperskoner visas nedan.
Den koniska ytan finns i vardagen. Till exempel har en glassstrut eller en randig trafikstrut denna form, som är designad för att locka förares ochfotgängare.
Typer av koner
Som du kanske kan gissa skiljer sig siffrorna i fråga från varandra beroende på vilken typ av kurva de är bildade på. Till exempel finns det en rund kon eller en elliptisk. Denna kurva kallas basen av figuren. Formen på basen är dock inte den enda egenskapen som tillåter klassificering av kottar.
Den andra viktiga egenskapen är höjdens läge i förhållande till basen. Höjden på en kon är ett rakt linjesegment, som sänks från toppen av figuren till basens plan och är vinkelrät mot detta plan. Om höjden skär basen i det geometriska centrumet (till exempel i mitten av cirkeln), kommer konen att vara rak, om det vinkelräta segmentet faller till någon annan punkt på basen eller bortom den, kommer figuren att vara snett.
Längre fram i artikeln kommer vi endast att betrakta en rund rak kon som en ljus representant för den övervägda klassen av figurer.
Geometriska namn på konelement
Det sades ovan att konen har en bas. Den avgränsas av en cirkel, som kallas konens styrning. De segment som förbinder styrningen till en punkt som inte ligger i basens plan kallas generatorer. Uppsättningen av alla punkter på generatorerna kallas den koniska eller laterala ytan av figuren. För en rund högerkon har alla generatorer samma längd.
Punkten där generatorerna skär varandra kallas toppen av figuren. Till skillnad från polyedrar har en kon en enda vertex och nrkant.
En rät linje som går genom toppen av figuren och cirkelns mitt kallas axeln. Axeln innehåller höjden av en rak kon, så den bildar en rät vinkel med basens plan. Denna information är viktig vid beräkning av arean av konens axiella sektion.
Rund rak kon - rotationsfigur
Den betraktade konen är en ganska symmetrisk figur, som kan erhållas som ett resultat av triangelns rotation. Anta att vi har en triangel med rät vinkel. För att få en kon räcker det att rotera denna triangel runt ett av benen som visas i figuren nedan.
Det kan ses att rotationsaxeln är konens axel. Ett av benen kommer att vara lika med höjden på figuren, och det andra benet kommer att bli basens radie. Hypotenusan av en triangel som ett resultat av rotation kommer att beskriva en konisk yta. Det kommer att vara konens generatris.
Denna metod för att erhålla en rund rak kon är bekväm att använda för att studera det matematiska sambandet mellan figurens linjära parametrar: höjden h, radien för den runda basen r och styrningen g. Motsvarande formel följer av egenskaperna hos en rätvinklig triangel. Den är listad nedan:
g2=h2+ r2.
Eftersom vi har en ekvation och tre variabler, betyder det att för att unikt ställa in parametrarna för en rund kon, måste du känna till vilka två kvantiteter som helst.
sektioner av en kon vid ett plan som inte innehåller toppen av figuren
Frågan om att konstruera sektioner av en figur är det intetrivial. Faktum är att formen på sektionen av konen vid ytan beror på figurens relativa position och sekanten.
Anta att vi skär konen med ett plan. Vad blir resultatet av denna geometriska operation? Alternativ för sektionsform visas i figuren nedan.
Den rosa delen är en cirkel. Den bildas som ett resultat av skärningen av figuren med ett plan som är parallellt med konens bas. Dessa är sektioner vinkelräta mot figurens axel. Figuren som bildas ovanför skärplanet är en kon som liknar den ursprungliga, men med en mindre cirkel vid basen.
Den gröna delen är en ellips. Det erhålls om skärplanet inte är parallellt med basen, utan det endast skär konens laterala yta. En figur avskuren ovanför planet kallas en elliptisk sned kon.
De blå och orangea sektionerna är paraboliska respektive hyperboliska. Som du kan se av figuren erhålls de om skärplanet samtidigt skär sidoytan och figurens bas.
För att bestämma områdena för de sektioner av konen som övervägdes är det nödvändigt att använda formlerna för motsvarande figur på planet. Till exempel, för en cirkel är detta talet Pi multiplicerat med kvadraten på radien, och för en ellips är detta produkten av Pi och längden på moll- och major-halvaxlarna:
cirkel: S=pir2;
ellips: S=piab.
Sektioner som innehåller toppen av konen
Tänk nu på alternativen för sektioner som uppstår om skärplanet ärpassera genom toppen av konen. Tre fall är möjliga:
- Avsnittet är en enda punkt. Till exempel, ett plan som går genom spetsen och parallellt med basen ger just en sådan sektion.
- Sektionen är en rak linje. Denna situation uppstår när planet tangerar en konisk yta. Den raka linjen för sektionen i detta fall kommer att vara konens generatris.
- Axial sektion. Det bildas när planet innehåller inte bara toppen av figuren, utan också hela dess axel. I det här fallet kommer planet att vara vinkelrätt mot den runda basen och kommer att dela konen i två lika delar.
Självklart är ytorna för de två första typerna av sektioner lika med noll. När det gäller konens tvärsnittsarea för den 3:e typen diskuteras denna fråga mer i detalj i nästa stycke.
Axialsektion
Det noterades ovan att den axiella sektionen av en kon är den figur som bildas när könen skärs av ett plan som passerar genom dess axel. Det är lätt att gissa att det här avsnittet kommer att representera figuren som visas i figuren nedan.
Detta är en likbent triangel. Spetsen för den axiella sektionen av konen är spetsen på denna triangel, bildad av skärningspunkten mellan identiska sidor. De senare är lika med längden på konens generatris. Triangelns bas är diametern på konens bas.
Att beräkna arean av den axiella sektionen av en kon reduceras till att hitta arean av den resulterande triangeln. Om radien för basen r och höjden h för konen är kända från början, kommer arean S för sektionen i fråga att vara:
S=hr.
Dettauttrycket är en konsekvens av att tillämpa standardformeln för arean av en triangel (halva produkten av höjden gånger basen).
Observera att om generatrisen för en kon är lika med diametern på dess runda bas, så är konens axiella sektion en liksidig triangel.
En triangulär sektion bildas när skärplanet är vinkelrätt mot konens bas och passerar genom dess axel. Alla andra plan parallellt med det namngivna kommer att ge en hyperbel i sektion. Men om planet innehåller konens spets och skär dess bas inte genom diametern, kommer den resulterande sektionen också att vara en likbent triangel.
Problemet med att bestämma konens linjära parametrar
Låt oss visa hur man använder formeln skriven för arean av den axiella sektionen för att lösa ett geometriskt problem.
Det är känt att arean av konens axiella sektion är 100 cm2. Den resulterande triangeln är liksidig. Vad är höjden på konen och radien på dess bas?
Eftersom triangeln är liksidig är dess höjd h relaterad till längden på sidan a enligt följande:
h=√3/2a.
Med tanke på att triangelns sida är två gånger radien av konens bas, och genom att ersätta detta uttryck med formeln för tvärsnittsarean, får vi:
S=hr=√3/22rr=>
r=√(S/√3).
Då är höjden på konen:
h=√3/22r=√3√(S/√3)=√(√3S).
Det återstår att ersätta områdets värde med problemets tillståndoch få svaret:
r=√(100/√3) ≈ 7,60 cm;
h=√(√3100) ≈ 13, 16 cm.
I vilka områden är det viktigt att känna till parametrarna för de övervägda avsnitten?
Studeringen av olika typer av konsektioner är inte bara av teoretiskt intresse, utan har också praktiska tillämpningar.
Först bör det noteras området för aerodynamik, där det med hjälp av koniska sektioner är möjligt att skapa idealiska släta former av solida kroppar.
För det andra är koniska sektioner banor längs vilka rymdobjekt rör sig i gravitationsfält. Vilken specifik typ av sektion som representerar rörelsebanan för de kosmiska kropparna i systemet bestäms av förhållandet mellan deras massor, absoluta hastigheter och avstånd mellan dem.
