Cylinder: sidoyta. Formeln för arean av den laterala ytan av en cylinder

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

När man studerar stereometri är ett av huvudämnena "Cylinder". Den laterala ytan anses, om inte den huvudsakliga, så en viktig formel för att lösa geometriska problem. Det är dock viktigt att komma ihåg definitioner som hjälper dig att navigera genom exempel och när du bevisar olika satser.

Cylinderkoncept

Först måste vi överväga några definitioner. Först efter att ha studerat dem kan man börja överväga frågan om formeln för arean av den laterala ytan av en cylinder. Baserat på denna post kan andra uttryck beräknas.

• En cylindrisk yta förstås som ett plan som beskrivs av en generatris, som rör sig och förblir parallellt med en given riktning och glider längs en befintlig kurva.
• Det finns också en andra definition: en cylindrisk yta bildas av en uppsättning parallella linjer som skär en given kurva.
• Generativ kallas konventionellt cylinderhöjden. När den rör sig runt en axel som går genom mitten av basen,den angivna geometriska kroppen erhålls.
• Under axeln menas en rät linje som går genom figurens båda baser.
• En cylinder är en stereometrisk kropp som begränsas av en korsande sidoyta och 2 parallella plan.

Det finns varianter av denna tredimensionella figur:

1. Circular är en cylinder vars guide är en cirkel. Dess huvudkomponenter är basens radie och generatrisen. Den senare är lika med figurens höjd.
2. Det finns en rak cylinder. Den fick sitt namn på grund av generatrisens vinkelräthet mot figurens baser.
3. Den tredje typen är en fasad cylinder. I läroböcker kan du också hitta ett annat namn för det - "cirkulär cylinder med en fasad bas." Denna siffra definierar basens radie, minsta och högsta höjd.
4. En liksidig cylinder förstås som en kropp som har samma höjd och diameter som ett cirkulärt plan.

Symbols

Traditionellt kallas huvudkomponenterna i en cylinder enligt följande:

• Radien för basen är R (den ersätter också samma värde på en stereometrisk figur).
• Generativ – L.
• Höjd – H.
• Basarea - S_{base (med andra ord, du måste hitta den specificerade cirkelparametern).}
• Fasade cylinderhöjder – h₁, h_{2 (minimum och maximum).}
• Sidoyta - S_{side (om du utökar den får dusorts en rektangel).}
• Volymen för en stereometrisk figur - V.
• Total yta – S.

“Komponenter” av en stereometrisk figur

När man studerar en cylinder spelar den laterala ytan en viktig roll. Detta beror på det faktum att denna formel ingår i flera andra, mer komplexa. Därför är det nödvändigt att vara väl insatt i teorin.

Huvudkomponenterna i figuren är:

1. Sidoyta. Som ni vet erhålls den på grund av generatrisens rörelse längs en given kurva.
2. Full yta inkluderar befintliga baser och sidoplan.
3. Sektionen av en cylinder är som regel en rektangel som är placerad parallellt med figurens axel. Annars kallas det ett plan. Det visar sig att längden och bredden är deltidskomponenter av andra figurer. Så villkorligt är längderna på sektionen generatorer. Bredd - parallella ackord av en stereometrisk figur.
4. Axial sektion betyder platsen för planet genom mitten av kroppen.
5. Och slutligen den slutliga definitionen. En tangent är ett plan som går genom cylinderns generatris och i rät vinkel mot den axiella sektionen. I detta fall måste ett villkor vara uppfyllt. Den specificerade generatrisen måste inkluderas i den axiella sektionens plan.

Grundformler för att arbeta med en cylinder

För att besvara frågan om hur man hittar ytarean på en cylinder, är det nödvändigt att studera de huvudsakliga "komponenterna" i en stereometrisk figur och formlerna för att hitta dem.

Dessa formler skiljer sig åt genom att först ges uttrycken för den avfasade cylindern och sedan för den raka.

Dekonstruerade exempel

Uppgift 1.

Det är nödvändigt att känna till området för cylinderns laterala yta. Diagonalen för sektionen AC=8 cm ges (desutom är den axiell). När den är i kontakt med generatrisen visar det sig _<ACD=30°

Beslut. Eftersom värdena för diagonalen och vinkeln är kända, så i detta fall:

CD=ACcos 30°

Kommentar. Triangel ACD, i detta specifika exempel, är en rätvinklig triangel. Detta betyder att kvoten för att dividera CD och AC=cosinus för den givna vinkeln. Värdet på trigonometriska funktioner kan hittas i en speciell tabell.

På liknande sätt kan du hitta värdet på AD:

AD=ACsin 30°

Nu måste du beräkna det önskade resultatet med hjälp av följande formulering: arean på cylinderns laterala yta är lika med två gånger resultatet av att multiplicera "pi", figurens radie och dess höjd. En annan formel bör också användas: arean av cylinderns bas. Det är lika med resultatet av att multiplicera "pi" med kvadraten på radien. Och slutligen den sista formeln: total yta. Det är lika med summan av de två föregående områdena.

Uppgift 2.

Cylinder ges. Deras volym=128n cm³. Vilken cylinder har den minstafull yta?

Beslut. Först måste du använda formlerna för att hitta volymen på en figur och dess höjd.

Eftersom den totala ytan på en cylinder är känd från teorin måste dess formel tillämpas.

Om vi betraktar den resulterande formeln som en funktion av cylinderns yta, kommer den lägsta "indikatorn" att nås vid extrempunkten. För att få det sista värdet måste du använda differentiering.

Formler kan ses i en speciell tabell för att hitta derivator. I framtiden likställs det hittade resultatet med noll och lösningen av ekvationen hittas.

Svar: S_{min kommer att nås vid h=1/32 cm, R=64 cm.}

Problem 3.

Ges en stereometrisk figur - en cylinder och en sektion. Det senare utförs på ett sådant sätt att det är placerat parallellt med den stereometriska kroppens axel. Cylindern har följande parametrar: VK=17 cm, h=15 cm, R=5 cm. Det är nödvändigt att hitta avståndet mellan sektionen och axeln.

Beslut.

Eftersom tvärsnittet av en cylinder förstås vara VSCM, dvs. en rektangel, är dess sida VM=h. WMC måste övervägas. Triangeln är rektangulär. Baserat på detta påstående kan vi härleda det korrekta antagandet att MK=BC.

VK²=VM² + MK²

MK²=VK² - VM²

MK²=17² - 15²

MK²=64

MK=8

Härifrån kan vi dra slutsatsen att MK=BC=8 cm.

Nästa steg är att rita ett snitt genom figurens bas. Det är nödvändigt att överväga det resulterande planet.

AD – diameter på en stereometrisk figur. Det är parallellt med avsnittet som nämns i problemformuleringen.

BC är en rät linje placerad i planet för den befintliga rektangeln.

ABCD är en trapets. I ett särskilt fall anses den vara likbent, eftersom en cirkel beskrivs runt den.

Om du hittar höjden på den resulterande trapetsen, kan du få svaret i början av problemet. Nämligen: hitta avståndet mellan axeln och den ritade sektionen.

För att göra detta måste du hitta värdena för AD och OS.

Svar: avsnittet ligger 3 cm från axeln.

Problem med att konsolidera materialet

Exempel 1.

Cylinder given. Den laterala ytan används i den ytterligare lösningen. Andra alternativ är kända. Arean av basen är Q, arean av den axiella sektionen är M. Det är nödvändigt att hitta S. Med andra ord, cylinderns totala yta.

Exempel 2.

Cylinder given. Den laterala ytan måste hittas i ett av stegen för att lösa problemet. Det är känt att höjd=4 cm, radie=2 cm. Det är nödvändigt att hitta den totala arean av en stereometrisk figur.