För att bestämma planens parallellitet och vinkelräthet, samt för att beräkna avstånden mellan dessa geometriska objekt, är det bekvämt att använda en eller annan typ av numeriska funktioner. För vilka problem är det lämpligt att använda ekvationen för ett plan i segment? I den här artikeln kommer vi att titta på vad det är och hur man använder det i praktiska uppgifter.
Vad är en ekvation i linjesegment?
Ett plan kan definieras i 3D-rymden på flera sätt. I den här artikeln kommer några av dem att ges samtidigt som man löser problem av olika slag. Här ger vi en detaljerad beskrivning av ekvationen i segment av planet. Den har vanligtvis följande form:
x/p + y/q + z/r=1.
Där symbolerna p, q, r betecknar vissa specifika siffror. Denna ekvation kan lätt översättas till ett allmänt uttryck och till andra former av numeriska funktioner för planet.
Bekvämligheten med att skriva ekvationen i segment ligger i det faktum att den innehåller de explicita koordinaterna för skärningen av planet med vinkelräta koordinataxlar. På x-axelni förhållande till origo skär planet av ett segment med längden p, på y-axeln - lika med q, på z - av längden r.
Om någon av de tre variablerna inte ingår i ekvationen betyder det att planet inte passerar genom motsvarande axel (matematiker säger att det korsar i oändligheten).
Nästa, här är några problem där vi kommer att visa hur man arbetar med denna ekvation.
Kommunikation av det allmänna och i ekvationssegment
Det är känt att planet ges av följande likhet:
2x - 3y + z - 6=0.
Det är nödvändigt att skriva ner denna allmänna ekvation för planet i segment.
När ett liknande problem uppstår måste du följa denna teknik: vi överför den fria termen till rätt sida av jämlikheten. Sedan delar vi hela ekvationen med denna term och försöker uttrycka den i formen som ges i föregående stycke. Vi har:
2x - 3y + z=6=>
2x/6 - 3y/6 + z/6=1=>
x/3 + y/(-2) + z/6=1.
Vi har i segmenten erhållit ekvationen för planet, som initi alt ges i allmän form. Det märks att planet skär av segment med längderna 3, 2 och 6 för x-, y- respektive z-axlarna. Y-axeln skär planet i det negativa koordinatområdet.
När man ritar upp en ekvation i segment är det viktigt att alla variabler föregås av ett "+"-tecken. Endast i det här fallet kommer talet som denna variabel delas med att visa koordinaten avskuren på axeln.
Normal vektor och punkt på planet
Det är känt att något plan har riktningsvektor (3; 0; -1). Det är också känt att den passerar genom punkten (1; 1; 1). För detta plan, skriv en ekvation i segment.
För att lösa detta problem bör du först använda den allmänna formen för detta tvådimensionella geometriska objekt. Den allmänna formen skrivs som:
Ax + By + Cz + D=0.
De tre första koefficienterna här är koordinaterna för guidevektorn, som anges i problemformuleringen, det vill säga:
A=3;
B=0;
C=-1.
Det återstår att hitta den fria termen D. Den kan bestämmas med följande formel:
D=-1(Ax1+ By1+ Cz1).
Där koordinatvärdena med index 1 motsvarar koordinaterna för en punkt som hör till planet. Vi ersätter deras värden från problemets tillstånd, vi får:
D=-1(31 + 01 + (-1)1)=-2.
Nu kan du skriva hela ekvationen:
3x - z - 2=0.
Tekniken för att omvandla detta uttryck till en ekvation i segment av planet har redan demonstrerats ovan. Använd det:
3x - z=2=>
x/(2/3) + z/(-2)=1.
Svaret på problemet har mottagits. Observera att detta plan endast skär x- och z-axlarna. För y är det parallellt.
Två raka linjer som definierar ett plan
Från loppet av rumslig geometri vet varje elev att två godtyckliga linjer unikt definierar ett plan itredimensionellt utrymme. Låt oss lösa ett liknande problem.
Två linjeekvationer är kända:
(x; y; z)=(1; 0; 0) + α(2; -1; 0);
(x; y; z)=(1; -1; 0) + β(-1; 0; 1).
Det är nödvändigt att skriva ner ekvationen för planet i segment som går genom dessa linjer.
Eftersom båda linjerna måste ligga i planet betyder det att deras vektorer (guider) måste vara vinkelräta mot vektorn (guiden) för planet. Samtidigt är det känt att vektorprodukten av godtyckliga två riktade segment ger resultatet i form av koordinater för det tredje, vinkelrätt mot de två ursprungliga. Med denna egenskap får vi koordinaterna för en vektor som är normal mot det önskade planet:
[(2; -1; 0)(-1; 0; 1)]=(-1; -2; -1).
Eftersom det kan multipliceras med ett godtyckligt tal, detta bildar ett nytt riktat segment parallellt med det ursprungliga, kan vi ersätta tecknet för de erhållna koordinaterna med motsatsen (multiplicera med -1), vi får:
(1; 2; 1).
Vi känner till riktningsvektorn. Det återstår att ta en godtycklig punkt på en av de räta linjerna och rita upp den allmänna ekvationen för planet:
A=1;
B=2;
C=1;
D=-1(11 + 20 + 30)=-1;
x + 2y + z -1=0.
Om vi översätter denna likhet till ett uttryck i segment får vi:
x + 2y + z=1=>
x/1 + y/(1/2) + z/1=1.
Plan skär således alla tre axlarna i det positiva området av koordinatsystemet.
Tre poäng och ett plan
Precis som två raka linjer definierar tre punkter ett plan unikt i tredimensionell rymd. Vi skriver motsvarande ekvation i segment om följande koordinater för punkter som ligger i planet är kända:
Q(1;-2;0);
P(2;-3;0);
M(4; 1; 0).
Låt oss göra följande: beräkna koordinaterna för två godtyckliga vektorer som förbinder dessa punkter, hitta sedan vektorn n¯ normal mot planet genom att beräkna produkten av de hittade riktade segmenten. Vi får:
QP¯=P - Q=(1; -1; 0);
QM¯=M - Q=(2; 4; 0);
n¯=[QP¯QM¯]=[(1; -1; 0)(2; 4; 0)]=(0; 0; 6).
Ta punkten P som exempel, komponera ekvationen för planet:
A=0;
B=0;
C=6;
D=-1(02 + 0(-3) + 60)=0;
6z=0 eller z=0.
Vi fick ett enkelt uttryck som motsvarar xy-planet i det givna rektangulära koordinatsystemet. Det kan inte skrivas i segment, eftersom x- och y-axlarna tillhör planet, och längden på segmentet avskuret på z-axeln är noll (punkten (0; 0; 0) tillhör planet).
