Inom fysiken måste man ofta lösa problem för att beräkna jämvikt i komplexa system som har många verkande krafter, spakar och rotationsaxlar. I det här fallet är det lättast att använda begreppet kraftmoment. Den här artikeln innehåller alla nödvändiga formler med detaljerade förklaringar som bör användas för att lösa problem av den namngivna typen.
Vad ska vi prata om?
Många har säkert lagt märke till att om du agerar med någon kraft på ett föremål som är fixerat vid en viss punkt, börjar det rotera. Ett slående exempel är dörren till huset eller till rummet. Om du tar den i handtaget och trycker (använd kraft), så börjar den öppnas (vrid på gångjärnen). Denna process är en manifestation i vardagen av verkan av en fysisk kvantitet, som kallas kraftens ögonblick.
Av det beskrivna exemplet med dörren följer att värdet i fråga anger kraftens förmåga att rotera, vilket är dess fysiska betydelse. Även detta värdekallas vridmomentet.
Bestämma kraftmomentet
Låt oss ta en enkel bild innan vi definierar kvantiteten i fråga.
Så, figuren visar en spak (blå), som är fixerad på axeln (grön). Denna spak har längden d, och en kraft F appliceras på dess ände. Vad kommer att hända med systemet i detta fall? Det stämmer, spaken kommer att börja rotera moturs när den ses uppifrån (observera att om du sträcker ut fantasin lite och föreställer dig att vyn är riktad underifrån till spaken, så kommer den att rotera medurs).
Låt fästpunkten för axeln kallas O, och punkten för krafttillämpning - P. Sedan kan vi skriva följande matematiska uttryck:
OP¯ F¯=M¯FO.
Där OP¯ är vektorn som är riktad från axeln till spakens ände, kallas den även kraftspaken, F¯är vektorn som appliceras på punkt P, och M¯FO är kraftmomentet kring punkt O (axel). Denna formel är den matematiska definitionen av den fysiska storheten i fråga.
Momentets riktning och högerhandsregel
Uttrycket ovan är en korsprodukt. Som ni vet är resultatet också en vektor som är vinkelrät mot planet som passerar genom motsvarande multiplikatorvektorer. Detta villkor uppfylls av två riktningar av värdet M¯FO (ned och upp).
Till uniktför att avgöra bör man använda den så kallade högerregeln. Det kan formuleras på detta sätt: om du böjer fyra fingrar på din högra hand till en halvbåge och riktar denna halvbåge så att den går längs den första vektorn (den första faktorn i formeln) och går till slutet av den andra, då kommer tummen som sticker ut uppåt att indikera riktningen för vridmomentet. Observera också att innan du använder den här regeln måste du ställa in de multiplicerade vektorerna så att de kommer ut från samma punkt (deras ursprung måste matcha).
I fallet med figuren i föregående stycke kan vi säga, genom att tillämpa högerregeln, att kraftmomentet i förhållande till axeln kommer att riktas uppåt, det vill säga mot oss.
Förutom den markerade metoden för att bestämma riktningen för vektorn M¯FO, finns det två till. Här är dem:
- Vridmomentet kommer att riktas på ett sådant sätt att om du tittar på den roterande spaken från slutet av dess vektor, kommer den senare att röra sig mot klockan. Det är allmänt accepterat att betrakta denna riktning som positiv när man löser olika typer av problem.
- Om du vrider gimleten medurs, kommer vridmomentet att riktas mot gimletens rörelse (fördjupning).
Alla ovanstående definitioner är likvärdiga, så alla kan välja den som passar honom.
Så det visade sig att riktningen för kraftmomentet är parallell med axeln som motsvarande spak roterar runt.
Angled force
Tänk på bilden nedan.
Här ser vi också en spak med längd L fixerad vid en punkt (indikerad med en pil). En kraft F verkar på den, men den riktas i en viss vinkel Φ (phi) mot den horisontella spaken. Riktningen för ögonblicket M¯FO i detta fall kommer att vara densamma som i föregående figur (på oss). För att beräkna det absoluta värdet eller modulen för denna kvantitet måste du använda korsproduktegenskapen. Enligt honom kan du för exemplet i fråga skriva uttrycket: MFO=LFsin(180 o -Φ) eller, med sinusegenskapen, skriver vi om:
MFO=LFsin(Φ).
Figuren visar också en färdig rätvinklig triangel, vars sidor är själva spaken (hypotenusa), kraftens (benets) verkningslinje och sidan av längden d (det andra benet). Med tanke på att sin(Φ)=d/L, kommer denna formel att ha formen: MFO=dF. Det kan ses att avståndet d är avståndet från spakens fästpunkt till kraftens verkningslinje, det vill säga d är kraftspaken.
Båda formlerna som tas upp i detta stycke, som följer direkt av definitionen av vridmomentet, är användbara för att lösa praktiska problem.
Vridmomentenheter
Med hjälp av definitionen kan det fastställas att värdet MFObör mätas i newton per meter (Nm). I form av dessa enheter används det faktiskt i SI.
Observera att Nm är en arbetsenhet, som uttrycks i joule, som energi. Ändå används inte joule för begreppet kraftmoment, eftersom detta värde speglar just möjligheten att implementera det senare. Det finns dock ett samband med arbetsenheten: om spaken, som ett resultat av kraften F, vrids helt runt sin vridningspunkt O, så blir det utförda arbetet lika med A=MF O 2pi (2pi är vinkeln i radianer som motsvarar 360o). I detta fall kan enheten för vridmoment MFO uttryckas i joule per radian (J/rad.). Den senare, tillsammans med Hm, används också i SI-systemet.
Varignons teorem
I slutet av 1600-talet formulerade den franske matematikern Pierre Varignon, som studerade jämvikten mellan system med spakar, först satsen, som nu bär hans efternamn. Det är formulerat enligt följande: det totala momentet för flera krafter är lika med momentet för den resulterande kraften, som appliceras på en viss punkt i förhållande till samma rotationsaxel. Matematiskt kan det skrivas så här:
M¯1+M¯2 +…+M¯=M¯=d¯ ∑ i=1(F¯i)=d¯F¯.
Denna sats är bekväm att använda för att beräkna vridmomenten i system med flera verkande krafter.
Närnäst ger vi ett exempel på hur man använder formlerna ovan för att lösa problem inom fysik.
skiftnyckelproblem
En avEtt slående exempel på att visa vikten av att ta hänsyn till kraftmomentet är processen att skruva loss muttrarna med en skiftnyckel. För att skruva loss muttern måste du applicera lite vridmoment. Det är nödvändigt att beräkna hur mycket kraft som ska appliceras vid punkt A för att börja skruva loss muttern, om denna kraft vid punkt B är 300 N (se figuren nedan).
Från ovanstående figur följer två viktiga saker: för det första är avståndet OB dubbelt så stort som för OA; för det andra är krafterna FA och FBriktade vinkelrätt mot motsvarande spak med rotationsaxeln sammanfallande med mutterns centrum (punkt O).
Vridmomentet för detta fall kan skrivas i skalär form enligt följande: M=OBFB=OAFA. Eftersom OB/OA=2, kommer denna likhet endast att gälla om FA är 2 gånger större än FB. Utifrån problemets tillstånd får vi att FA=2300=600 N. Det vill säga ju längre nyckeln är, desto lättare är det att skruva loss muttern.
Problem med två bollar med olika massa
Figuren nedan visar ett system som är i jämvikt. Det är nödvändigt att hitta stödpunktens position om brädets längd är 3 meter.
Eftersom systemet är i jämvikt är summan av momenten för alla krafter lika med noll. Det finns tre krafter som verkar på brädan (vikterna för de två bollarna och stödets reaktionskraft). Eftersom stödkraften inte skapar ett vridmoment (spakens längd är noll), finns det bara två moment som skapas av kulornas vikt.
Låt jämviktspunkten vara på ett avstånd x frånkant som innehåller en 100 kg boll. Sedan kan vi skriva likheten: M1-M2=0. Eftersom kroppens vikt bestäms av formeln mg, då har vi: m 1gx - m2g(3-x)=0. Vi minskar g och ersätter data, vi får: 100x - 5(3-x)=0=> x=15/105=0,143 m eller 14,3 cm.
För att systemet ska vara i jämvikt är det alltså nödvändigt att fastställa en referenspunkt på ett avstånd av 14,3 cm från kanten, där en boll med massa 100 kg kommer att ligga.
