Förmågan att bestämma volymen av rumsliga figurer är viktig för att lösa geometriska och praktiska problem. En av dessa figurer är ett prisma. Vi kommer att överväga i artikeln vad det är och visar hur man beräknar volymen av ett lutande prisma.
Vad menas med ett prisma i geometri?
Detta är en vanlig polyeder (polyeder), som bildas av två identiska baser placerade i parallella plan, och flera parallellogram som förbinder de markerade baserna.
Prismabaser kan vara godtyckliga polygoner, som triangel, fyrhörning, heptagon och så vidare. Dessutom bestämmer antalet hörn (sidor) av polygonen namnet på figuren.
Alla prisma med en n-gon bas (n är antalet sidor) består av n+2 ytor, 2 × n hörn och 3 × n kanter. Av de givna talen kan man se att antalet element i prismat motsvarar Eulers sats:
3 × n=2 × n + n + 2 - 2
Bilden nedan visar hur triangulära och fyrkantiga prismor av glas ser ut.
Typer av figurer. Lutande prisma
Det har redan sagts ovan att namnet på ett prisma bestäms av antalet sidor av polygonen vid basen. Det finns dock andra funktioner i dess struktur som bestämmer figurens egenskaper. Så om alla parallellogram som bildar prismats laterala yta representeras av rektanglar eller kvadrater, kallas en sådan figur en rak linje. För ett rakt prisma är avståndet mellan baserna lika med längden på sidokanten på en rektangel.
Om några eller alla sidorna är parallellogram, så talar vi om ett lutande prisma. Dess höjd kommer redan att vara mindre än längden på sidoribban.
Ett annat kriterium för att klassificera figurerna i fråga är längden på sidorna och vinklarna för polygonen vid basen. Om de är lika med varandra kommer polygonen att vara korrekt. En rak figur med en regelbunden polygon vid baserna kallas regelbunden. Det är bekvämt att arbeta med det när man bestämmer ytarea och volym. Ett lutande prisma i detta avseende ger vissa svårigheter.
Figuren nedan visar två prismor med kvadratisk bas. 90°-vinkeln visar den grundläggande skillnaden mellan ett rakt och ett snett prisma.
Formel för att bestämma volymen på en figur
En del av rymden som begränsas av ytorna på ett prisma kallas dess volym. För de betraktade siffrorna av vilken typ som helst kan detta värde bestämmas med följande formel:
V=h × So
Här anger symbolen höjden på prismat,vilket är ett mått på avståndet mellan två baser. Symbol So- en basruta.
Basområdet är lätt att hitta. Med tanke på det faktum om polygonen är regelbunden eller inte, och med att veta antalet sidor, bör du använda lämplig formel och få So. Till exempel, för en vanlig n-gon med sidlängd a, kommer arean att vara:
S=n / 4 × a2 × ctg (pi / n)
Låt oss nu gå vidare till höjd h. För ett rakt prisma är det inte svårt att bestämma höjden, men för ett snett prisma är detta ingen lätt uppgift. Det kan lösas med olika geometriska metoder, utgående från specifika initiala förhållanden. Det finns dock ett universellt sätt att bestämma höjden på en figur. Låt oss kort beskriva det.
Tanken är att hitta avståndet från en punkt i rymden till ett plan. Antag att planet ges av ekvationen:
A × x+ B × y + C × z + D=0
Då kommer planet att vara på avstånd:
h=|A × x1 + B × y1+ C × z1 +D| / √ (A2 + B2+ C2)
Om koordinataxlarna är arrangerade så att punkten (0; 0; 0) ligger i planet för prismats nedre bas, så kan ekvationen för basplanet skrivas på följande sätt:
z=0
Detta betyder att formeln för höjden kommer att skrivasalltså:
h=z1
Det räcker att hitta z-koordinaten för valfri punkt på den övre basen för att bestämma figurens höjd.
Exempel på problemlösning
Figuren nedan visar ett fyrkantigt prisma. Basen på ett lutande prisma är en kvadrat med en sida på 10 cm. Det är nödvändigt att beräkna dess volym om det är känt att längden på sidokanten är 15 cm, och den spetsiga vinkeln på frontalparallellogrammet är 70 °.
Eftersom höjden h på figuren också är höjden på parallellogrammet använder vi formler för att bestämma dess area för att hitta h. Låt oss beteckna parallellogrammets sidor på följande sätt:
a=10 cm;
b=15cm
Då kan du skriva följande formler för att bestämma arean Sp:
Sp=a × b × sin (α);
Sp=a × h
Varifrån vi kommer:
h=b × sin (α)
Här är α en spetsig vinkel på parallellogrammet. Eftersom basen är en kvadrat kommer formeln för volymen av ett lutande prisma att ha formen:
V=a2 × b × sin (α)
Vi ersätter data från villkoret i formeln och får svaret: V ≈ 1410 cm3.
