Geometriska figurer i rymden är föremål för studier av stereometri, vars kurs passeras av skolbarn i gymnasiet. Den här artikeln ägnas åt en sådan perfekt polyeder som ett prisma. Låt oss överväga mer i detalj egenskaperna hos ett prisma och ge formlerna som tjänar till att beskriva dem kvantitativt.
Vad är ett prisma?
Alla föreställer sig hur en låda eller kub ser ut. Båda figurerna är prismor. Klassen av prismor är dock mycket mer varierad. I geometri ges denna figur följande definition: ett prisma är vilken polyeder som helst i rymden, som bildas av två parallella och identiska polygonala sidor och flera parallellogram. Identiska parallella ytor på en figur kallas dess baser (övre och nedre). Parallelogram är figurens sidoytor som förbinder basens sidor med varandra.
Om basen representeras av en n-gon, där n är ett heltal, kommer figuren att bestå av 2+n ytor, 2n hörn och 3n kanter. Ytor och kanter hänvisar tillen av två typer: antingen hör de till sidoytan eller till baserna. När det gäller hörnen är de alla lika och tillhör prismats baser.
Typer av figurer i klassen som studeras
När du studerar egenskaperna hos ett prisma bör du lista de möjliga typerna av denna figur:
- Konvex och konkav. Skillnaden mellan dem ligger i formen på den polygonala basen. Om den är konkav blir den också en tredimensionell figur och vice versa.
- Rak och snett. För ett rakt prisma är sidoytorna antingen rektanglar eller kvadrater. I en sned figur är sidoytorna parallellogram av allmän typ eller romber.
- Fel och rätt. För att figuren som ska studeras ska vara korrekt måste den vara rak och ha rätt bas. Ett exempel på det senare är platta figurer som en liksidig triangel eller en kvadrat.
Namnet på prismat bildas med hänsyn till den angivna klassificeringen. Till exempel kallas den rätvinkliga parallellepipeden eller kuben som nämns ovan ett vanligt fyrkantigt prisma. Vanliga prismor, på grund av sin höga symmetri, är bekväma att studera. Deras egenskaper uttrycks i form av specifika matematiska formler.
Prismområde
När man betraktar en sådan egenskap hos ett prisma som dess area, menar de den totala arean av alla dess ytor. Det är lättast att föreställa sig detta värde om du viker ut figuren, det vill säga expanderar alla ansikten till ett plan. Nedan påFiguren visar ett exempel på ett svep av två prismor.
För ett godtyckligt prisma kan formeln för arean för dess svep i allmän form skrivas enligt följande:
S=2So+ bPsr.
Låt oss förklara notationen. Värdet So är arean av en bas, b är längden på sidokanten, Psr är den skurna omkretsen, som är vinkelrät mot figurens sidoparallellogram.
Den skrivna formeln används ofta för att bestämma områdena för lutande prismor. I fallet med ett vanligt prisma kommer uttrycket för S att anta en specifik form:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Den första termen i uttrycket representerar arean av de två baserna i ett vanligt prisma, den andra termen är arean av sidorektanglarna. Här är a längden på sidan av en vanlig n-gon. Observera att längden på sidokanten b för ett vanligt prisma också är dess höjd h, så i formeln kan b ersättas med h.
Hur beräknar man volymen på en figur?
Prism är en relativt enkel polyeder med hög symmetri. Därför, för att bestämma dess volym, finns det en mycket enkel formel. Det ser ut så här:
V=Soh.
Det kan vara svårt att beräkna basarea och höjd när man tittar på en sned oregelbunden form. Detta problem löses med hjälp av sekventiell geometrisk analys som involverar information om de tvåsidiga vinklarna mellan sidoparallellogrammen och basen.
Om prismat är korrekt dåformeln för V blir ganska konkret:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Som du kan se bestäms arean S och volymen V för ett vanligt prisma unikt om två av dess linjära parametrar är kända.
Triangulärt regelbundet prisma
Låt oss avsluta artikeln med att överväga egenskaperna hos ett vanligt triangulärt prisma. Den bildas av fem ytor, varav tre är rektanglar (fyrkanter), och två är liksidiga trianglar. Ett prisma har sex hörn och nio kanter. För detta prisma skrivs formlerna för volym och ytarea nedan:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2h.
Förutom dessa egenskaper är det också användbart att ge en formel för apotem för figurens bas, som är höjden ha av en liksidig triangel:
ha=√3/2a.
Sidorna på prismat är identiska rektanglar. Längden på deras diagonaler d är:
d=√(a2+ h2).
Kunskaper om de geometriska egenskaperna hos ett triangulärt prisma är av inte bara teoretiskt utan också praktiskt intresse. Faktum är att denna figur, gjord av optiskt glas, används för att studera kroppars strålningsspektrum.
Ljus som passerar genom ett glasprisma sönderdelas till ett antal komponentfärger som ett resultat av dispersionsfenomenet, vilket skapar förutsättningar för att studera den spektrala sammansättningen av ett elektromagnetiskt flöde.
