Rotationsmoment och tröghetsmoment: formler, ett exempel på att lösa problemet

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2023-12-17 05:42

Kroppen som gör cirkulära rörelser inom fysiken beskrivs vanligtvis med formler som inkluderar vinkelhastighet och vinkelacceleration, såväl som sådana kvantiteter som rotationsmoment, krafter och tröghet. Låt oss titta närmare på dessa begrepp i artikeln.

Vridningsögonblick kring axeln

Denna fysiska storhet kallas också för vinkelmomentet. Ordet "vridmoment" betyder att rotationsaxelns position beaktas vid bestämning av motsvarande karakteristik. Så, vinkelmomentet för en partikel med massan m, som roterar med en hastighet v runt axeln O och ligger på ett avstånd r från den senare, beskrivs med följande formel:

L¯=r¯mv¯=r¯p¯, där p¯ är partikelns rörelsemängd.

Tecknet "¯" indikerar vektornaturen för motsvarande kvantitet. Riktningen för vinkelmomentvektorn L¯ bestäms av högerhandsregeln (fyra fingrar är riktade från slutet av vektorn r¯ till slutet av p¯, och vänster tumme visar var L¯ kommer att riktas). Riktningarna för alla namngivna vektorer kan ses på artikelns huvudfoto.

NärNär de löser praktiska problem använder de formeln för rörelsemängden i form av en skalär. Dessutom ersätts den linjära hastigheten av den vinkelformade. I det här fallet skulle formeln för L se ut så här:

L=mr²ω, där ω=vr är vinkelhastigheten.

Värdet mr² betecknas med bokstaven I och kallas tröghetsmomentet. Det kännetecknar rotationssystemets tröghetsegenskaper. I allmänhet skrivs uttrycket för L så här:

L=Iω.

Denna formel är giltig inte bara för en roterande partikel med massan m, utan också för alla kroppar med godtycklig form som gör cirkulära rörelser kring någon axel.

tröghetsmoment I

I det allmänna fallet beräknas värdet jag angav i föregående stycke med formeln:

I=∑_i(m_ir_i ²).

Här anger i numret på elementet med massan m_i beläget på ett avstånd r_i från rotationsaxeln. Detta uttryck låter dig beräkna för en inhomogen kropp med godtycklig form. För de flesta ideala tredimensionella geometriska figurerna har denna beräkning redan gjorts, och de erhållna värdena för tröghetsmomentet anges i motsvarande tabell. Till exempel, för en homogen skiva som gör cirkulära rörelser runt en axel vinkelrät mot dess plan och som passerar genom masscentrum, I=mr²/2.

För att förstå den fysiska innebörden av rotationsmomentet I, bör man svara på frågan om vilken axel det är lättare att snurra moppen: den som löper längs moppenEller en som är vinkelrät mot den? I det andra fallet måste du applicera mer kraft, eftersom tröghetsmomentet för denna position av moppen är stort.

Law of conservation of L

Vridmomentets förändring över tiden beskrivs med formeln nedan:

dL/dt=M, där M=rF.

Här är M momentet för den resulterande yttre kraften F som appliceras på axeln r kring rotationsaxeln.

Formeln visar att om M=0 så kommer förändringen i rörelsemängden L inte att ske, det vill säga den kommer att förbli oförändrad under en godtyckligt lång tid, oavsett interna förändringar i systemet. Detta fall är skrivet som ett uttryck:

I₁ω₁=I₂ω ₂.

Det vill säga alla förändringar inom momentsystemet I kommer att leda till förändringar i vinkelhastigheten ω på ett sådant sätt att deras produkt förblir konstant.

Ett exempel på manifestationen av denna lag är en idrottare inom konståkning, som kastar ut sina armar och trycker dem mot kroppen ändrar sitt I, vilket återspeglas i en förändring i hans rotationshastighet ω.

Problemet med jordens rotation runt solen

Låt oss lösa ett intressant problem: med formlerna ovan är det nödvändigt att beräkna rotationsmomentet för vår planet i dess omloppsbana.

Eftersom tyngdkraften hos resten av planeterna kan försummas, och ävengivet att momentet för gravitationskraften som verkar från solen på jorden är lika med noll (axeln r=0), så är L=konst. För att beräkna L använder vi följande uttryck:

L=Iω; I=mr²; ω=2pi/T.

Här har vi antagit att jorden kan betraktas som en materiell punkt med massan m=5,97210²⁴kg, eftersom dess dimensioner är mycket mindre än avståndet till solen r=149,6 miljoner km. T=365, 256 dagar - perioden för planetens rotation runt sin stjärna (1 år). Genom att ersätta all data i uttrycket ovan får vi:

L=Iω=5, 97210²⁴(149, 610⁹) ²23, 14/(365, 256243600)=2, 6610⁴⁰kgm² /s.

Det beräknade värdet av rörelsemängd är gigantiskt, på grund av planetens stora massa, dess höga omloppshastighet och enorma astronomiska avstånd.