Varje elev har hört talas om en rund kon och föreställer sig hur den här tredimensionella figuren ser ut. Den här artikeln definierar utvecklingen av en kon, ger formler som beskriver dess egenskaper och beskriver hur man konstruerar den med en kompass, gradskiva och rätlina.
Cirkulär kon i geometri
Låt oss ge en geometrisk definition av denna figur. En rund kon är en yta som bildas av raka linjesegment som förbinder alla punkter i en viss cirkel med en enda punkt i rymden. Denna enda punkt får inte tillhöra det plan som cirkeln ligger i. Om vi tar en cirkel istället för en cirkel, leder denna metod också till en kon.
Cirkeln kallas figurens bas, dess omkrets är riktlinjen. Segmenten som förbinder punkten med riktlinjen kallas generatriser eller generatorer, och punkten där de skär varandra är konens spets.
Rund kon kan vara rak och snett. Båda siffrorna visas i figuren nedan.
Skillnaden mellan dem är denna: om vinkelrät från toppen av konen faller exakt till mitten av cirkeln, kommer könen att vara rak. För honom är den vinkelräta, som kallas figurens höjd, en del av hans axel. I fallet med en sned kon bildar höjden och axeln en spetsig vinkel.
På grund av figurens enkelhet och symmetri kommer vi vidare att överväga egenskaperna hos endast en höger kon med en rund bas.
Få en form med rotation
Innan du fortsätter att överväga utvecklingen av en kons yta, är det användbart att veta hur denna rumsliga figur kan erhållas med rotation.
Anta att vi har en rätvinklig triangel med sidorna a, b, c. De två första av dem är ben, c är hypotenusan. Låt oss sätta en triangel på ben a och börja rotera den runt ben b. Hypotenusan c kommer då att beskriva en konisk yta. Denna enkla konteknik visas i diagrammet nedan.
Självklart kommer ben a att vara radien för figurens bas, ben b kommer att vara dess höjd och hypotenusan c motsvarar generatrisen för en rund höger kon.
Vy över konens utveckling
Som du kanske kan gissa bildas konen av två typer av ytor. En av dem är en platt bascirkel. Anta att den har radien r. Den andra ytan är lateral och kallas konisk. Låt dess generator vara lika med g.
Om vi har en papperskon kan vi ta en sax och klippa av basen från den. Sedan ska den koniska ytan skäraslängs vilken generatris som helst och distribuera den på planet. På så sätt fick vi en utveckling av konens sidoyta. De två ytorna, tillsammans med den ursprungliga konen, visas i diagrammet nedan.
Bascirkeln är avbildad längst ned till höger. Den ovikta koniska ytan visas i mitten. Det visar sig att det motsvarar någon cirkulär sektor av cirkeln, vars radie är lika med längden av generatrisen g.
Svep med vinkel och område
Nu får vi formler som, med hjälp av de kända parametrarna g och r, tillåter oss att beräkna konens area och vinkel.
Självklart har bågen för den cirkulära sektorn som visas ovan i figuren en längd som är lika med basens omkrets, det vill säga:
l=2pir.
Om hela cirkeln med radien g byggdes, skulle dess längd vara:
L=2pig.
Eftersom längden L motsvarar 2pi radianer, kan vinkeln som bågen l vilar på bestämmas utifrån motsvarande proportion:
L==>2pi;
l==> φ.
Då blir den okända vinkeln φ lika med:
φ=2pil/L.
Genom att ersätta uttrycken för längderna l och L, kommer vi fram till formeln för utvecklingsvinkeln för konens laterala yta:
φ=2pir/g.
Vinkeln φ här uttrycks i radianer.
För att bestämma arean Sb för en cirkulär sektor kommer vi att använda det funna värdet på φ. Vi gör en andel till, bara för områdena. Vi har:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Varifrån ska du uttrycka Sb och sedan ersätta värdet på vinkeln φ. Vi får:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
För området med en konisk yta har vi fått en ganska kompakt formel. Värdet på Sb är lika med produkten av tre faktorer: pi, figurens radie och dess generatris.
Då blir arean av hela figurens yta lika med summan av Sb och So (cirkulär basarea). Vi får formeln:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Bygga ett svep av en kon på papper
För att slutföra denna uppgift behöver du ett papper, en penna, en gradskiva, en linjal och en kompass.
Först av allt, låt oss rita en rätvinklig triangel med sidorna 3 cm, 4 cm och 5 cm. Dess rotation runt benet på 3 cm ger den önskade konen. Figuren har r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Att bygga ett svep börjar med att rita en cirkel med radie r med en kompass. Dess längd kommer att vara lika med 6pi cm. Nu bredvid den kommer vi att rita en annan cirkel, men med en radie g. Dess längd kommer att motsvara 10pi cm. Nu måste vi skära av en cirkulär sektor från en stor cirkel. Dess vinkel φ är:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Nu lägger vi åt sidan denna vinkel med en gradskiva på en cirkel med radie g och ritar två radier som kommer att begränsa den cirkulära sektorn.
SåSåledes har vi byggt en utveckling av konen med de specificerade parametrarna radie, höjd och generatris.
Ett exempel på att lösa ett geometriskt problem
Ges en rund rak kon. Det är känt att vinkeln för dess laterala svep är 120o. Det är nödvändigt att hitta radien och generatrisen för denna figur, om man vet att konens höjd h är 10 cm.
Uppgiften är inte svår om vi kommer ihåg att en rund kon är en rotationsfigur av en rätvinklig triangel. Från denna triangel följer ett entydigt förhållande mellan höjd, radie och generatris. Låt oss skriva motsvarande formel:
g2=h2+ r2.
Det andra uttrycket att använda vid lösning är formeln för vinkeln φ:
φ=2pir/g.
Vi har alltså två ekvationer som relaterar två okända storheter (r och g).
Uttryck g från den andra formeln och ersätt resultatet med den första, vi får:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Angle φ=120o i radianer är 2pi/3. Vi ersätter detta värde, vi får de slutliga formlerna för r och g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Det återstår att ersätta höjdvärdet och få svaret på problemfrågan: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
