När man överväger figurer i rymden, uppstår ofta problem med att bestämma deras yta. En sådan figur är konen. Betrakta i artikeln vad som är sidoytan på en kon med rund bas, samt en stympad kon.
Kon med rund bas
Innan vi fortsätter att överväga konens sidoyta, låt oss visa vilken typ av figur det är och hur man får den med geometriska metoder.
Ta en rätvinklig triangel ABC, där AB och AC är ben. Låt oss sätta denna triangel på ben AC och rotera den runt ben AB. Som ett resultat beskriver sidorna AC och BC två ytor på figuren nedan.
Siffran som erhålls genom rotation kallas en rund rak kon. Den är rund eftersom dess bas är en cirkel, och den är rak eftersom den vinkelräta som dras från toppen av figuren (punkt B) skär cirkeln i dess mitt. Längden på denna vinkelrät kallas höjden. Uppenbarligen är det lika med ben AB. Höjden betecknas vanligtvis med bokstaven h.
Förutom höjden beskrivs den betraktade konen av ytterligare två linjära egenskaper:
- genererande, eller generatrix (hypotenus BC);
- basradie (ben AC).
Radien kommer att betecknas med bokstaven r och generatoratrixen med g. Sedan, med hänsyn till Pythagoras sats, kan vi skriva en likhet som är viktig för figuren i fråga:
g2=h2+ r2
Konisk yta
Totaliteten av alla generatriser bildar en konisk eller lateral yta av en kon. Utseendemässigt är det svårt att säga vilken platt figur det motsvarar. Det senare är viktigt att veta när man bestämmer arean på en konisk yta. För att lösa detta problem används svepmetoden. Den består av följande: en yta skärs ment alt längs en godtycklig generatoratrix, och sedan vecklas den ut på ett plan. Med denna metod för att få ett svep bildas följande platta figur.
Som du kanske kan gissa, motsvarar cirkeln basen, men den cirkulära sektorn är en konisk yta, vars area vi är intresserade av. Sektorn begränsas av två generatriser och en båge. Längden på den senare är exakt lika med omkretsen (längden) av basens omkrets. Dessa egenskaper bestämmer unikt alla egenskaper hos den cirkulära sektorn. Vi kommer inte att ge mellanliggande matematiska beräkningar, utan omedelbart skriva ner den slutliga formeln, med hjälp av vilken du kan beräkna arean av konens laterala yta. Formeln är:
Sb=pigr
Arean på en konisk yta Sbär lika med produkten av två parametrar och Pi.
Trunkerad kon och dess yta
Om vi tar en vanlig kon och skär av dess topp med ett parallellt plan, blir den återstående figuren en stympad kon. Dess laterala yta begränsas av två runda baser. Låt oss beteckna deras radier som R och r. Vi betecknar figurens höjd med h och generatrisen med g. Nedan finns ett pappersutklipp för denna figur.
Det kan ses att sidoytan inte längre är en cirkulär sektor, den är mindre i yta, eftersom den centrala delen var avskuren från den. Utvecklingen är begränsad till fyra linjer, två av dem är räta linjesegment-generatorer, de andra två är bågar med längden av motsvarande cirklar av baserna på den stympade konen.
Sidoyta Sb beräknas enligt följande:
Sb=pig(r + R)
Generatrix, radier och höjd är relaterade av följande likhet:
g2=h2+ (R - r)2
Problemet med jämlikheten mellan siffrornas områden
Med tanke på en kon med en höjd av 20 cm och en basradie på 8 cm. Det är nödvändigt att hitta höjden på en stympad kon vars sidoyta kommer att ha samma area som denna kon. Den stympade figuren är byggd på samma bas, och den övre basens radie är 3 cm.
Först av allt, låt oss skriva ner villkoret för jämlikhet mellan könens områden och den avkortade figuren. Vi har:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Låt oss nu skriva uttrycken för generatriserna för varje figur:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Ersätt g1 och g2 i formeln för lika arealer och kvadrat med vänster och höger sida, så får vi:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Här får vi uttrycket för h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Vi kommer inte att förenkla denna jämlikhet, utan bara ersätta data som är kända från villkoret:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 cm
För att vara lika med ytorna på sidoytorna på figurerna måste den stympade konen ha parametrarna: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 cm.
