Vad är det här - en kon? Definition, egenskaper, formler och ett exempel på att lösa problemet

2024 Författare: Angel Austin | [email protected]. Senast ändrad: 2024-01-02 17:56

En kon är en av de rumsliga rotationsfigurerna, vars egenskaper och egenskaper studeras med stereometri. I den här artikeln kommer vi att definiera denna figur och överväga de grundläggande formlerna som förbinder en kons linjära parametrar med dess yta och volym.

Vad är en kon?

Ur geometrisk synvinkel talar vi om en rumslig figur, som bildas av en uppsättning raka segment som förbinder en viss punkt i rymden med alla punkter i en jämn platt kurva. Denna kurva kan vara en cirkel eller en ellips. Bilden nedan visar en kon.

Den presenterade figuren har ingen volym, eftersom väggarna på dess yta har en oändligt liten tjocklek. Men om den är fylld med en substans och avgränsad från ovan inte av en kurva, utan av en platt figur, till exempel en cirkel, så får vi en solid volymetrisk kropp, som också brukar kallas en kon.

Formen på en kon kan ofta hittas i livet. Så den har en glassstrut eller randiga svarta och orangea trafikstrutar som sätts på vägbanan för att fånga trafikdeltagarnas uppmärksamhet.

Element av en kon och dess typer

Eftersom konen inte är en polyeder är antalet element som bildar den inte lika stort som för polyeder. I geometri består en allmän kon av följande element:

• bas, vars gränskurva kallas riktlinje eller generatris;
• av den laterala ytan, som är samlingen av alla punkter i räta linjesegment (generatriser) som förbinder spetsen och punkter på styrkurvan;
• vertex, som är skärningspunkten för generatriserna.

Observera att spetsen inte får ligga i basens plan, eftersom konen i detta fall urartar till en platt figur.

Om vi ritar ett vinkelrät segment från toppen till basen får vi höjden på figuren. Om den sista basen skär i det geometriska centrumet är det en rak kon. Om vinkelrät inte sammanfaller med basens geometriska centrum, kommer figuren att lutas.

Raka och sneda koner visas i figuren. Här betecknas höjden och radien för konens bas med h respektive r. Linjen som förbinder toppen av figuren och basens geometriska centrum är konens axel. Det kan ses av figuren att för en rak figur ligger höjden på denna axel, och för en lutande figur bildar höjden en vinkel med axeln. Konens axel indikeras med bokstaven a.

Rak kon med rund bas

Kanske är denna kon den vanligaste av den betraktade klassen av figurer. Den består av en cirkel och en sidaytor. Det är inte svårt att få det med geometriska metoder. För att göra detta, ta en rätvinklig triangel och rotera den runt en axel som sammanfaller med ett av benen. Uppenbarligen kommer detta ben att bli höjden på figuren, och längden på det andra benet i triangeln bildar radien för konens bas. Diagrammet nedan visar det beskrivna schemat för att erhålla rotationstalet i fråga.

Den avbildade triangeln kan roteras runt ett annat ben, vilket kommer att resultera i en kon med en större basradie och en lägre höjd än den första.

För att entydigt bestämma alla parametrar för en rund rak kon, bör man känna till två av dess linjära egenskaper. Bland dem särskiljs radien r, höjden h eller längden av generatrisen g. Alla dessa kvantiteter är längderna på sidorna av den betraktade rätvinkliga triangeln, därför är Pythagoras sats giltig för deras koppling:

g²=r²+ h^2.

Yta

När man studerar ytan på en tredimensionell figur är det bekvämt att använda dess utveckling på ett plan. Konen är inget undantag. För en rund kon visas utvecklingen nedan.

Vi ser att utvecklingen av figuren består av två delar:

1. Cirkeln som bildar konens bas.
2. Sektorn av cirkeln, som är figurens koniska yta.

Arean av en cirkel är lätt att hitta, och motsvarande formel är känd för alla elever. På tal om den cirkulära sektorn, noterar vi att detär en del av en cirkel med radien g (längden på könens generatris). Längden på bågen för denna sektor är lika med basens omkrets. Dessa parametrar gör det möjligt att entydigt bestämma dess område. Motsvarande formel är:

S=pir2+ pirg.

De första och andra termerna i uttrycket är konen av basen respektive områdets sidoyta.

Om längden på generatorn g är okänd, men höjden h på figuren anges, kan formeln skrivas om till:

S=pir²+ pir√(r²+ h^2).

Volymen på figuren

Om vi tar en rak pyramid och ökar antalet sidor av dess bas i oändligheten, kommer formen på basen att tendera till en cirkel, och pyramidens sidoyta kommer att närma sig den koniska ytan. Dessa överväganden tillåter oss att använda formeln för volymen av en pyramid när vi beräknar ett liknande värde för en kon. Volymen av en kon kan hittas med formeln:

V=1/3hS_o.

Denna formel är alltid sann, oavsett vad konens bas är, med arean S_{o. Dessutom gäller formeln även för den sneda konen.}

Eftersom vi studerar egenskaperna hos en rak figur med en rund bas, kan vi använda följande uttryck för att bestämma dess volym:

V=1/3hpir2.

Formeln är uppenbar.

Problemet med att hitta ytan och volymen

Låt en kon ges, vars radie är 10 cm och längden på generatrisen är 20se Behöver bestämma volym och yta för denna form.

För att beräkna arean S kan du omedelbart använda formeln ovan. Vi har:

S=pir²+ pirg=942 cm^2.

För att bestämma volymen måste du känna till figurens höjd h. Vi beräknar det med hjälp av förhållandet mellan konens linjära parametrar. Vi får:

h=√(g²- r²)=√(20²- 10^{2) ≈ 17, 32 cm.}

Nu kan du använda formeln för V:

V=1/3hpir²=1/317, 323, 1410^{2 ≈ 1812, 83cm}3^.

Observera att volymen av en rund kon är en tredjedel av cylindern den är inskriven i.